Hermann – Mauguin gösterimi

Geometride, Hermann – Mauguin gösterimi nokta gruplarında, düzlem gruplarında ve uzay gruplarında simetri elemanlarını temsil etmek için kullanılır. Alman kristallograf Carl Hermann'ın (1928'de tanıtan) ve Fransız mineralog Charles-Victor Mauguin'den (1931'de değiştiren) adını aldı. Bu gösterime bazen uluslararası gösterim de denir, çünkü 1935'teki ilk baskısından bu yana Uluslararası Kristalografi Tabloları tarafından standart olarak kabul edilmiştir.

Hermann-Mauguin gösterimi, Schoenflies notasyonu ile karşılaştırıldığında, kristalografide tercih edilir çünkü translasyonel simetri elemanlarını dahil etmek için kolayca kullanılabilir ve simetri eksenlerinin yönlerini belirtir.

Nokta grubu

Dönme eksenleri n - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... (dönüş açısı φ = 360°/n) ile gösterilir. Uygunsuz rotasyonlar için Hermann – Mauguin sembolleri, Schoenflies ve Shubnikov notasyonlarının aksine, rotasyon yansıma eksenlerine tercih edilen rotoinversiyon eksenlerini gösterir. Rotoinversiyon eksenleri, bir sayı ile, n - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... bir makronla temsil edilir. Şekil 2, bir ayna düzlemine eşdeğerdir ve genellikle m olarak belirtilir. Ayna düzleminin yönü, ona dik olan yön olarak tanımlanır (2 eksenin yönü).

Hermann-Mauguin sembolleri, eşdeğer olmayan eksenleri ve düzlemleri simetrik bir şekilde gösterir. Bir simetri elemanının yönü Hermann-Mauguin sembolündeki konumuna karşılık gelir. Bir dönme ekseni n ve bir ayna düzlemi m aynı yöne sahipse (yani düzlem, n eksenine dik ise), o zaman n/m veya n/m fraksiyonu olarak belirtilirler.

İki veya daha fazla eksen aynı yöne sahipse, daha yüksek simetriye sahip eksen gösterilir. Daha yüksek simetri, eksenin daha fazla noktalı bir desen oluşturduğu anlamına gelir. Örneğin, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dönüş eksenleri, sırasıyla 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8 noktalı desenler oluşturur. Yanlış dönme eksenleri 3, 4, 5, 6, 7, 8 sırasıyla 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8 noktalı desenler oluşturur. Bir rotasyon ve rotoinversiyon ekseni aynı sayıda nokta üretiyorsa, rotasyon ekseni seçilmelidir. Örneğin, 3/m kombinasyonu 6'ya eşittir. 6, 6 nokta ve 3 yalnızca 3 ürettiğinden 3/m yerine 6 yazılmalıdır (6/m değil, 6 zaten ayna düzlemini m içerdiğinden). Benzer şekilde, hem 3 hem de 3 eksenin olduğu durumda, 3 yazılmalıdır. Ancak 4/m değil 4/m yazıyoruz, çünkü hem 4 hem de 4 dört nokta üretiyor. 2, 3, 6, 3 ve 6 eksenlerin bulunduğu 6/m kombinasyonu durumunda, 3, 6 ve 6 eksenlerinin tümü 6 noktalı desenler oluşturur, ancak ikincisi kullanılmalıdır, çünkü bir dönüş ekseni - sembol 6/m olacaktır.

Daha yüksek mertebeden eksenleri olmayan gruplar (üç veya daha üst mertebeden eksenler)

Bu gruplar sadece iki katlı eksenler, ayna düzlemleri veya bir ters çevirme merkezi içerebilir. Bunlar kristalografik nokta grupları 1 ve 1 (triklinik kristal sistemi), 2, m ve 2/m (monoklinik) ve 222, 2/m2/m2/m, ve mm2'dir (ortorombik). (2/m2/m2/m'lik kısa biçim mm'dir.) Sembol üç konum içeriyorsa, sırasıyla x, y, z yönünde simetri öğelerini belirtirler.

Bir üst sıra ekseni olan gruplar

Birinci konum - birincil yön - z yönü, üst düzey eksene atanır.
İkinci konum - z eksenine dik olan simetrik olarak eşdeğer ikincil yönler. Bunlar 2, m veya 2/m olabilir.
Üçüncü konum - ikincil yönler arasında geçen simetrik olarak eşdeğer üçüncül yönler. Bunlar 2, m veya 2/m olabilir.

Bunlar 3, 32, 3m, 3 ve 32/m (trigonal kristal sistemi), 4, 422, 4mm, 4, 42m, 4/m, ve 4/m2/m2/m (dörtgen) kristalografik gruplardır ve 6, 622, 6mm, 6, 6m2, 6/m, ve 6/m2/m2/m (altıgen).

Schoenflies	H–M sembolü	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
C_n	n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
C_nv	nm	3m		5m		7m		9m		11m			∞m
C_nv	nmm		4mm		6mm		8mm		10mm		12mm		∞m
S_2n	n	3		5		7		9		11			∞/m
S_n			4				8				12
C_n/2h					6				10
C_nh	n/m		4/m		6/m		8/m		10/m		12/m
D_n	n2	32		52		72		92		(11)2			∞2
D_n	n22		422		622		822		(10)22		(12)22		∞2
D_nd	n2/m	32/m		52/m		72/m		92/m		(11)2/m			∞/mm
D_n/2d	n2m = nm2		42m				82m				(12)2m
D_n/2h	n2m = nm2				6m2				(10)m2
D_nh	n/m2/m2/m		4/m2/m2/m		6/m2/m2/m		8/m2/m2/m		10/m2/m2/m		12/m2/m2/m

Birkaç üst düzey ekseni olan gruplar

Bunlar kübik kristal sisteminin kristalografik gruplarıdır: 23, 432, 2/m3, 43m, ve 4/m32/m. Hepsi dört çapraz 3 katlı eksen içerir. Bu eksenler, dört boşluk köşegenine (küp 4/m32/m simetrisine sahiptir) yönlendirilmiş bir küp içinde 3 kat eksen olarak düzenlenmiştir. Bu semboller aşağıdaki şekilde oluşturulur:

İlk konum - x, y ve z koordinat eksenlerinin simetrik olarak eşdeğer yönleri. Çapraz 3 katlı eksenlerin varlığı nedeniyle eşdeğerdirler.
İkinci konum - diyagonal 3 veya 3 eksen.
Üçüncü konum - x, y ve z üç koordinat ekseninden herhangi biri arasındaki çapraz yönler. Bunlar 2, m veya 2/m olabilir.

Düzlem grupları

Düzlem grupları Hermann – Mauguin sistemi kullanılarak tasvir edilebilir. İlk harf, ilkel veya ortalanmış birim hücreleri temsil etmek için küçük p veya c harfidir. Bir sonraki sayı, yukarıda verildiği gibi dönme simetrisidir. Ayna düzlemlerinin varlığı m, kayma yansımaları g olarak gösterilir.

Uzay grupları

Bir uzay grubunun sembolü, kafes türünü açıklayan büyük harfin simetri öğelerini belirten sembollerle birleştirilmesiyle tanımlanır. Simetri elemanları karşılık gelen nokta grubunun (boşluk grubundan tüm öteleme bileşenlerini kaldırırsa elde edilen grup) sembolüyle aynı şekilde sıralanır. Simetri elemanlarının sembolleri daha çeşitlidir, çünkü dönme eksenleri ve ayna düzlemlerine ek olarak, uzay grubu daha karmaşık simetri elemanları içerebilir - vida eksenleri (dönme ve öteleme kombinasyonu) ve kayma düzlemleri (ayna yansıması ve öteleme kombinasyonu). Sonuç olarak, birçok farklı uzay grubu aynı nokta grubuna karşılık gelebilir. Örneğin, farklı kafes tipleri ve kayma düzlemlerinin seçilmesi, mmm nokta grubundan 28 farklı alan grubu oluşturabilir; Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd.