Çarpanlarına ayırma

Matematikte Çarpanlarına ayırma (bazı İngiliz İngilizcesi formlarında faktoring) veya faktoring, genellikle aynı türden daha küçük veya daha basit nesneler olan birkaç faktörün ürünü olarak bir sayı veya başka bir matematiksel nesne yazmaktan ibarettir.

Örneğin, 3 × 5 15 tamsayısının bir faktoringidir ve (x – 2)(x + 2), polinom x² – 4'ün bir faktörüdür.

Faktörleşme, gerçek veya karmaşık sayılar gibi bölünmeye sahip sayı sistemlerinde genellikle anlamlı kabul edilmez, çünkü herhangi bir $x$, $y$ sıfır olmadığında, $(xy)\times (1/y)$ gibi, önemsiz şekilde yazılabilir. Bununla birlikte, rasyonel bir sayı veya rasyonel bir fonksiyon için anlamlı bir çarpanlara ayırma işlemi, en düşük terimlerle yazılarak ve pay ve paydasını ayrı ayrı çarpanlara ayırarak elde edilebilir.

Faktoring, ilk önce tamsayı durumunda eski Yunan matematikçiler tarafından düşünülmüştü. Her pozitif tamsayının, 1'den büyük tamsayılara daha fazla katlanamayacağı bir asal sayı çarpımına çarpan olabileceğini iddia eden temel aritmetik teoremini kanıtladılar. Tamsayılı çarpanlara ayırma işleminin bir çeşit tersi olmasına rağmen, algoritma olarak çok daha zordur, RSA şifreleme sisteminde açık anahtarlı şifreleme uygulamak için kullanılan bir gerçek.

polinom çarpanlara da yüzyıllar boyunca çalışılmıştır. İlköğretim cebirinde, bir polinomun faktoringi, faktörlerin köklerini bulmak için köklerini bulma problemini azaltır. Tamsayılı veya bir alandaki katsayılı polinomlar, indirgenemez polinomların yerini alan asal sayılarla aritmetiğin temel teoreminin bir versiyonu olan eşsiz faktörleşme özelliğine sahiptir. Özellikle, karmaşık katsayılara sahip tek değişkenli bir polinom, lineer polinomlara benzersiz (sıralamaya kadar) bir faktoringi kabul eder: bu, cebirin temel teoreminin bir versiyonudur. Bu durumda, faktörizasyon kök bulma algoritmalarıyla yapılabilir. Tamsayılı katsayılı polinomların durumu bilgisayar cebiri için esastır. Rasyonel sayı katsayılı polinomlar halkası içinde hesaplama (tam) çarpanlara ayırma için verimli bilgisayar algoritmaları vardır (bkz. Polinomların çarpanlara ayrılması).

Eşsiz çarpanlara ayırma özelliğine sahip olan bir komütatif halka, çarpanlara ayrılma alanı olarak adlandırılır. Belirli cebirsel tamsayı halkaları gibi benzersiz faktörizasyon alanları olmayan sayı sistemleri vardır. Bununla birlikte, cebirsel tamsayı halkaları, Dedekind alan adlarının daha zayıf özelliğini karşılar: benzersiz idealleri asal ideallere ayırır.

Faktoring, matematiksel bir nesnenin daha küçük veya daha basit nesnelerin çarpımına daha genel ayrışmalarını da ifade edebilir. Örneğin, her bir fonksiyon, bir enjekte edici fonksiyon içeren bir fonksiyon fonksiyonunun kompozisyonuna dahil edilebilir. Matrisler birçok çeşit matris faktörleşmesine sahiptir. Örneğin, her matris, tüm çapraz girişleri bir üst üçgen matris U ve bir permütasyon matrisi P'ye eşit olan alt üçgen matris L'nin bir çarpımı olarak benzersiz bir LUP faktoringine sahiptir; bu, Gauss elemesinin bir matris formülasyonudur.

Tamsayılar

Temel aritmetik teoremi ile, 1'den büyük her tamsayı, asal sayılara benzersiz olan (faktörlerin sırasına kadar) çarpanlara ayrılır; bu, birden büyük tam sayıların çarpımına katlanamayan tam sayılardır.

N tamsayısının çarpanını hesaplamak için n'in bir böleni q'unu bulmak ya da n'nin asal olduğuna karar vermek için bir algoritmaya ihtiyacı vardır. Böyle bir bölen bulunduğunda, bu algoritmanın tekrar tekrar q ve n / q faktörlerine uygulanması, n'nin tam çarpanlaştırılmasını sağlar.

Eğer bir n bölen q bulmak için, eğer varsa, bütün q değerlerini 1 < q ve q² ≤ n olarak test etmek yeterlidir. Aslında, r, n'nin bölü r² > n olduğu bir böleni ise, q = n / r, q² ≤ n'nin n olduğu bir bölendir.

Eğer q değerlerini artan düzende test ederse, bulunan ilk bölen, mutlaka bir asal sayıdır ve kofaktör r = n / q, q'dan daha küçük bir bölene sahip olamaz. Tam çarpanlara ayırma için, algoritmayı, q'dan küçük ve √r.'den büyük olmayan bir r bölenini arayarak devam ettirmek yeterlidir.

Yöntemin uygulanması için tüm q değerlerinin test edilmesine gerek yoktur. Prensip olarak, sadece asal bölenleri test etmek yeterlidir. Bunun, örneğin Eratosthenes eleği ile üretilebilecek bir asal sayı tablosuna sahip olması gerekir. Faktoringleştirme yöntemi esasen Eratosthenes'in eleği ile aynı işi yaptığı için, genellikle bir asal olup olmadıklarının hemen net olmadığı sayıları bölen için test etmek daha etkilidir. Genellikle, biri 2, 3, 5 ve son basamağı 1, 3, 7, 9 olan ve basamağın toplamı 3'ün katı olmadığı > 5 sayıları test edilerek devam edilebilir.

Bu yöntem küçük tamsayıları faktoring için iyi çalışır, ancak daha büyük tamsayılar için verimsizdir. Örneğin, Pierre de Fermat, 6. Fermat sayısının bulamadığını tespit edemedi.

$1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297$

çünkü asal bir sayı değildi. Aslında, yukarıdaki yöntemi uygulamak, 10 ondalık basamağa sahip bir sayı için 10000'den fazla bölümek gerektirir.

Daha verimli faktoring algoritmaları var. Bununla birlikte, teknikte mevcut durumda olduğu gibi, daha güçlü bilgisayarlarda bile, rastgele seçilen iki asal sayının carpanı olan 500 ondalık basamağın faktörü alamaz. Bu, güvenli internet iletişimi için yaygın olarak kullanılan RSA şifreleme sisteminin güvenliğini sağlar.

Örnek

n = 1386 faktörünü asal sayılara ayırmak için:

• 2 ile bölmeye başlayın: sayı çift ve n = 2 · 693. 693 ve birinci bölen aday olarak 2 ile devam edin.
• 693 tektir (2 bir bölen değildir), ancak 3'ün katıdır: birinde 693 = 3 · 231 ve n = 2 · 3 · 231. 231 ve 3 ü birinci bölen aday olarak devam edin
• 231 aynı zamanda 3'ün bir katıdır: birinde 231 = 3 · 77 ve bu nedenle n = 2 · 3² · 77'dir. 77 ve 3 ile ilk bölen aday olarak devam edin.
• 77, 3'ün katı değil, çünkü rakamlarının toplamı 14, 3'ün katı değil. Ayrıca 5'in katı değil çünkü son hanesi 7'dir. test edilecek bir sonraki tek bölen 7'dir. Birinde 77 = 7 · 11 ve n = 2 · 3² · 7 · 11 Bu, 7'nin asal olduğunu gösterir (doğrudan test edilmesi kolaydır). İlk bölen adayı olarak 11 ve 7 ile devam edin.
• 7² > 11 gibi, biri bitti. Böylece 11 asal ve asal çarpanlara ayırılır

1386 = 2 · 3² · 7 · 11.

İfade etme

İfadelerin değiştirilmesi, cebirin temelidir. Faktoring, birkaç nedenden dolayı ifade manipülasyonu için en önemli yöntemlerden biridir. Eğer biri E⋅F = 0 faktörü şeklinde bir denklem koyabilirse, problem çözme iki bağımsız (ve genellikle daha kolay) E = 0 ve F = 0 problemlerine ayrılır. Bir ifade faktörlendirilebildiği zaman, faktörler genellikle daha basittir ve bu nedenle, sorunla ilgili bir fikir verebilir. Örneğin,

$x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc$

16 çarpma, 4 çıkarma ve 3 toplama işlemi daha basit ifadelere dahil edilebilir.

$(x-a)(x-b)(x-c),$

sadece iki çarpma ve üç çıkarma ile. Ayrıca, faktoring formu, bu ifadelerle temsil edilen x 'deki polinomun x = a, b, c köklerini hemen verir.

Öte yandan, faktörlendirme her zaman mümkün değildir ve mümkün olduğunda faktörler her zaman daha kolay değildir. Örneğin, $x^{997}-1$ iki indirgenemez faktöre dahil edilebilir $x^{996}+x^{995}+\cdots +x^{2}+x+1$.

Çarpanlara ayırma bulmak için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir; bazıları aşağıda açıklanmaktadır.

Cebirsel denklemleri çözme, faktörleşme sorunu olarak görülebilir. Aslında, cebirin temel teoremi aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Karmaşık katsayıları olan n cinsinden x cinsinden her polinom, n - doğrusal faktörleri olarak $x-a_{i},$, i = 1, ..., n için $x-a_{i},$ i = 1, ..., n şeklinde faktörize edilebilir. ., n, burada a_is'in polinomun kökleridir. Faktoringleşmenin yapısı bu durumlarda bilinmesine rağmen, a_is, genellikle, Abel-Ruffini teoremi ile, radikal (n^th kökleri) cinsinden hesaplanamaz. Çoğu durumda, yapılabilecek en iyi şey, kök bulma algoritmasıyla köklerin yaklaşık değerlerini hesaplamaktır.

İfadelerin çarpanlara ayrılma tarihçesi

İfadeleri basitleştirmek için cebirsel manipülasyonların sistematik kullanımı (daha özel olarak denklemler) 9. yüzyılda, al-Khwarizmi'nin bu iki tür manipülasyonla ilgili olan Tamamlama ve Dengeleme ile Hesaplanan Compendious Book adlı kitabıyla yapılabilir. Bununla birlikte, ikinci dereceden denklemleri çözmek için bile, Harriot’un ölümünden on yıl sonra 1631’de yayınlanan çalışmalarından önce faktoring yöntemi kullanılmadı.

Artrio Analyticae Praxis ad Aequations Cebirsel Resolvendas adlı kitabında, Harriot ilk bölümde monom, binom ve trinomların toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi için tablolar çizdi. Sonra, ikinci bir bölümde, aa − ba + ca = + bc denklemini kurdu ve bunun, daha önce sağladığı çarpma biçimiyle eşleşerek çarpanlara ayırma (a − b)(a + c) verdiğini gösterdi.

Genel yöntemler

Aşağıda açıklanan yöntemler, bir toplam olan veya bir toplama dönüştürülebilen herhangi bir ifadeye uygulanır. Bu nedenle, en çok polinomlara uygulanırlar, toplam terimleri monom olmadığı zaman bile uygulanabilir, değişkenlerin ve sabitlerin carpımıdır.

Ortak faktör

Bir toplamın tüm şartlarının carpan olduğu ve bazı faktörlerin tüm şartlarda ortak olduğu ortaya çıkabilir. Bu durumda, dağıtım yasası bu ortak faktörü dışarıda bırakmaya izin verir. Bu gibi birkaç ortak faktör varsa, bu en büyük ortak faktörü bölmeye değer. Ayrıca, tamsayı katsayıları varsa, biri bu katsayıların en büyük ortak bölenini belirleyebilir.

Örneğin,

$6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),$

2’den beri 6, 8 ve 10’un en büyük ortak böleni $x^{3}y^{2}$ tüm terimleri böler.

Gruplama

Gruplandırma terimleri, faktoring almak için başka yöntemler kullanılmasına izin verebilir. Örneğin, faktöre

$4x^{2}+20x+3xy+15y,$

ilk iki terimin ortak bir faktör x olduğu ve son iki terimin de ortak faktör y olduğu söylenebilir. Böylece

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).$

Daha sonra basit bir kontrol, ortak faktör olan x + 5'i gösterir ve bu da faktoringe yol açar

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).$

Genel olarak, bu iki binomun carpan olarak elde edilen 4 terimin toplamı için işe yarar. Sık olmasa da, bu daha karmaşık örnekler için de işe yarayabilir.

Kaynak

Burdaki yer alan bilgiler en:Factorization sayfası'ndan çevirilerek edinilmiştir.