Poisson oranı

Poisson oranı $\nu$ (nu), bir malzemenin yükleme yönüne dik yönlerde genişlemesini veya büzülmesini açıklayan Poisson etkisinin bir ölçüsüdür. Poisson oranının değeri, enine yükün eksenel enine oranının negatifidir. Bu değişikliklerin küçük değerleri için, $\nu$ enine genişleme miktarının eksenel sıkıştırma miktarına bölümüdür. Çoğu malzeme Poisson oranı 0.0 ile 0.5 arasındadır. Kauçuk gibi sıkıştırılamaz malzemelerin oranı 0,5'e yakındır. Oran, Fransız matematikçi ve fizikçi Siméon Poisson'un adını almıştır.

Köken

Poisson oranı, bir malzemenin sıkıştırma yönüne dik yönlerde genişleme eğilimi gösteren Poisson etkisinin bir ölçüsüdür. Tersine, eğer malzeme sıkıştırılmak yerine gerilirse, genellikle gerilme yönünün enine yönlerde büzülme eğilimindedir. Bir lastik bant gerildiğinde yaygın bir gözlemdir, belirgin bir şekilde incelir. Yine, Poisson oranı göreceli daralmanın göreceli genişlemeye oranı olacak ve yukarıdakiyle aynı değere sahip olacaktır. Bazı nadir durumlarda, bir malzeme sıkıştırıldığında (veya gerildiğinde genleştiğinde) enine yönde küçülecek ve bu da Poisson oranının negatif bir değerini verecektir.

İstikrarlı, izotropik, doğrusal elastik bir malzemenin Poisson oranı −1.0 ile +0.5 arasında olmalıdır, çünkü Young modülü, kesme modülü ve bulk modülünün pozitif değerlere sahip olma zorunluluğu vardır. Çoğu malzeme Poisson oranı 0.0 ile 0.5 arasındadır. Küçük yüklerde elastik olarak deforme olmuş mükemmel sıkıştırılamaz bir izotropik malzeme Poisson oranının tam olarak 0,5 olmasını sağlar. Çoğu çelik ve sert polimer, tasarım sınırları dahilinde (verimden önce) kullanıldığında, büyük oranda sabit hacimde meydana gelen verim sonrası deformasyon için 0.5'e yükselen yaklaşık 0.3 değerleri gösterir. Kauçuğun Poisson oranı yaklaşık 0.5'tir. Cork'un Poisson oranı 0'a yakındır, sıkıştırıldığında çok az yanal genişleme gösterir. Bazı malzemeler, örnk. bazı polimer köpükler, origami kıvrımları ve bazı hücreler negatif Poisson oranı sergileyebilir ve yardımcı malzemeler olarak adlandırılır. Bu yardımcı malzemeler bir yönde gerilirse, dikey yönde kalınlaşırlar. Buna karşılık, karbon nanotüpler, zikzak esaslı katlanmış tabaka malzemeler ve petek oksetik metamalzemeler gibi bazı anizotropik malzemeler, bir kaçını belirtmek gerekirse, belirli yönlerde 0.5'in üzerinde bir veya daha fazla Poisson oranı sergileyebilir.

Malzemenin eksenel yönde uzatıldığı veya sıkıştırıldığı varsayılarak (aşağıdaki şemadaki x ekseni):

$\nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}$

Burda

• $\nu$ ortaya çıkan Poisson oranıdır,

  $\varepsilon _{\mathrm {trans} }$ enine gerginliktir (eksenel gerilim (negatif) için negatif, eksenel sıkıştırma için pozitif)

  $\varepsilon _{\mathrm {axial} }$ eksenel gerginliktir (eksenel gerginlik için pozitif, eksenel sıkıştırma için negatif).

Uzunluk değişimi

X yönünde uzatılmış bir küp için (bkz. Şekil 1) x yönünde $\Delta L$ uzunluk artışı ve y ve z yönlerinde $\Delta L'$ 'uzunluk azalması için, sonsuz çapraz yük verir.

$d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}}\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}}\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.$

Poisson oranı deformasyonla sabitse, bu ifadeleri entegre etmek ve Poisson oranı tanımını kullanılır.

$-\nu \int \limits _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int \limits _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int \limits _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.$

Çözme ve üs alma, $\Delta L$ ve $\Delta L'$ arasındaki ilişki o zaman

$\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.$

Çok küçük $\Delta L$ ve $\Delta L'$ değerleri için, birinci dereceden yaklaşıklama şunları sağlar:

$\nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.$

Hacimsel değişim

Şekil 1: Poisson oranı 0.5 olan ve x ekseni boyunca gerilime maruz kalan bir izotropik doğrusal elastik malzemenin L uzunluğuna sahip bir küp. Yeşil küp gergin değildir, kırmızı gerginlik nedeniyle x yönünde $\Delta L$ genişler ve $\Delta L'$ ile y ve z yönünde daralır.

Malzemenin gerilmesinden dolayı bir küpün ΔV/V hacminin göreli değişimi artık hesaplanabilir. kullanım $V=L^{3}$ and $V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}$:

${\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1$

$\Delta L$ ve $\Delta L'$ arasında yukarıda türetilmiş ilişkiyi kullanarak:

${\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1$

ve küçük $\Delta L$ ve $\Delta L'$, 'nin çok küçük değerleri için, birinci dereceden yaklaşıklama şunları sağlar:

${\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}$

İzotropik malzemeler için Lamé’nin ilişkisini kullanabiliriz

$\nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}$

buradaki $K$, bulk modülü ve $E$, Young modülüdür.

İzotropik malzemelerin Poisson oranı - $-1<\nu <0.5$ olmalıdır. Tipik izotropik mühendislik malzemelerinin Poisson oranı $0.2<\nu <0.5$'dir.