Uzay grubu

Matematik, fizik ve kimyada bir uzay grubu, genellikle üç boyutlu uzaydaki bir konfigürasyonun simetri grubudur. Üç boyutta, 219 farklı tür vardır veya şiral kopyalar farklı kabul edilirse, 230 vardır. Uzay grupları, bazen Bieberbach grupları olarak adlandırıldıkları ve yönlendirilmiş bir Öklid uzayının izometrilerinin ayrı ortak kompakt grupları oldukları 3 dışındaki boyutlarda da incelenir.

Kristalografide, uzay grupları ayrıca kristalografik veya Fedorov grupları olarak adlandırılır ve kristalin simetrisinin bir tanımını temsil eder. 3 boyutlu uzay gruplarıyla ilgili kesin bir kaynak Uluslararası Kristalografi Tabloları'dır (Hahn (2002)).

Tarihçe

2 boyutlu uzay grupları, birkaç yüzyıldır bilinen 17 duvar kağıdı grubudur, ancak listenin tamamlandığının kanıtı, uzay gruplarının çok daha zor sınıflandırmasının büyük ölçüde tamamlanmasından sonra ancak 1891'de verilmiştir. 1879'da Alman matematikçi Leonhard Sohncke, elementleri kiraliteyi koruyan 65 uzay grubunu (Sohncke grupları olarak adlandırılır) listeledi. Daha doğrusu 66 grubu listeledi, ancak hem Rus matematikçi hem de kristalograf Evgraf Fedorov ve Alman matematikçi Arthur Moritz Schoenflies ikisinin gerçekten aynı olduğunu fark etti. Üç boyutlu uzay grupları ilk olarak 1891'de Fedorov tarafından numaralandırıldı (listede iki eksiklik (I43d ve Fdd2) ve bir çoğaltma (Fmm2) vardı) ve kısa bir süre sonra 1891'de bağımsız olarak Schönflies tarafından numaralandırıldı (listede dört eksiklik vardı (I43d) , Pc, Cc,?) Ve bir çoğaltma (P421m)). 230 uzay grubunun doğru listesi 1892'de Fedorov ve Schönflies arasındaki yazışmalarda bulundu. Barlow (1894) daha sonra grupları farklı bir yöntemle numaralandırdı, ancak Fedorov ve Schönflies'den 230 grubun doğru listesine zaten sahip olmasına rağmen dört grubu (Fdd2, I42d, P421d ve P421c) atladı; Barlow'un yaptıklarından habersiz olduğu yönündeki ortak iddia yanlıştır. Burckhardt (1967), uzay gruplarının keşif tarihini ayrıntılı olarak anlatır.

Elementler

Üç boyuttaki uzay grupları, 32 kristalografik nokta grubunun her biri 7 kafes sisteminden birine ait olan 14 Bravais kafesi ile kombinasyonlarından yapılmıştır. Bunun anlamı, belirli bir uzay grubunun herhangi bir öğesinin eyleminin, isteğe bağlı olarak bir çevirinin ardından uygun nokta grubunun bir öğesinin eylemi olarak ifade edilebileceğidir. Dolayısıyla bir uzay grubu, bir birim hücrenin öteleme simetrisinin (kafes merkezleme [açıklama gerekli] dahil), yansıma, döndürme ve yanlış döndürmenin nokta grubu simetri işlemlerinin (aynı zamanda rotoinversiyon olarak da adlandırılır) bir kombinasyonudur ve vida ekseni ve kayma düzlemi simetri işlemleri. Tüm bu simetri işlemlerinin kombinasyonu, tüm olası kristal simetrilerini tanımlayan toplam 230 farklı uzay grubu ile sonuçlanır.

Bir noktayı sabitleyen öğeler

Uzay grubunun bir noktasını sabitleyen unsurları kimlik unsurları, yansımalar, rotasyonlar ve uygun olmayan rotasyonlardır.

Çeviriler

Tercümeler, Bravais kafesi adı verilen, sıra 3'ün normal bir değişmeli alt grubunu oluşturur. 14 olası Bravais kafesi türü vardır. Uzay grubunun Bravais kafesi ile bölümü, 32 olası nokta grubundan biri olan sonlu bir gruptur.

Kayma düzlemleri

Bir kayma düzlemi, bir düzlemdeki bir yansımadır, ardından o düzleme paralel bir öteleme izler. Bu, kaymanın hangi eksende olduğuna bağlı olarak a, b veya c ile belirtilir. Ayrıca, bir yüzün köşegeninin yarısı boyunca bir kayma olan n kayma ve birim hücrenin bir yüzü veya boşluk köşegeni boyunca yolun dördüncüsü olan d kayma da vardır. İkincisi, elmas yapısında yer aldığı için elmas kayma düzlemi olarak adlandırılır. 17 boşluk grubunda, hücrenin merkezlenmesinden dolayı, kaymalar aynı anda iki dikey yönde meydana gelir, yani aynı kayma düzlemi b veya c, a veya b, a veya c olarak adlandırılabilir. Örneğin, Abm2 grubu Acm2, Ccca grubu da Cccb olarak adlandırılabilir. 1992'de bu tür uçaklar için e sembolünün kullanılması önerildi. Beş uzay grubu için semboller değiştirildi:

uzay grubu no.	39	41	64	67	68
yeni sembol	Aem2	Aea2	Cmce	Cmme	Ccce
eski sembol	Abm2	Aba2	Cmca	Cmma	Ccca

Vida eksenleri

Bir vida ekseni, bir eksen etrafında bir dönüş ve ardından eksen yönü boyunca bir ötelemedir. Bunlar, dönme derecesini açıklamak için bir sayı ile not edilir; burada sayı, tam bir dönüşü tamamlamak için kaç işlemin uygulanması gerektiğidir (örneğin, 3, her seferinde eksen etrafında yolun üçte biri olan bir dönüş anlamına gelir) . Daha sonra öteleme derecesi, paralel kafes vektörünün bir bölümü olarak ötelemenin eksen boyunca ne kadar uzakta olduğunu gösteren bir alt simge olarak eklenir. Yani 21, iki yönlü bir dönüş ve ardından kafes vektörünün 1/2'sinin ötelenmesidir.

Genel formül

Bir uzay grubunun bir elemanının eyleminin genel formülü şöyledir:

y = M.x + D

M kendi matrisidir, D vektörüdür ve eleman x noktasını y noktasına dönüştürür. Genel olarak, D = D (kafes) + D (M), burada D (M), M'nin özdeşlik olduğu için sıfır olan M'nin benzersiz bir fonksiyonudur. Matrisler M, uzay grubunun temeli olan bir nokta grubu oluşturur; Kafes, bu nokta grubu altında simetrik olmalıdır, ancak kristal yapının kendisi, herhangi bir belirli noktaya uygulandığı haliyle (yani, öteleme olmadan) bu nokta grubu altında simetrik olmayabilir. Örneğin, elmas kübik yapının kübik nokta grubunun uygulandığı herhangi bir noktası yoktur.

Kafes boyutu, genel boyuttan daha küçük olabilir, bu da "alt periyodik" bir uzay grubuna neden olur. (Genel boyut, kafes boyutu) için:

(1,1): Tek boyutlu çizgi grupları
(2,1): İki boyutlu çizgi grupları: friz grupları
(2,2): Duvar kağıdı grupları
(3,1): Üç boyutlu çizgi grupları; 3D kristalografik nokta grupları ile çubuk grupları
(3,2): Katman grupları
(3,3): Bu makalede tartışılan uzay grupları