Bulk modülü

İzostatik basıncın gösterimi

Bulk modülü ($K$ veya $B$) bir kütlenin çepeçevre saran basınç altındaki sıkışmasının bir ölçüsüdür. Sonsuz basınç artışının, hacminin ortaya çıkan nispi azalması oranı olarak tanımlanır. Diğer modüller, materyalin diğer stres türlerine tepkisini (gerinim) tanımlar: kayma modülü kaymaya yanıtı ve Young modülü doğrusal gerilmeye yanıtı açıklar. Bir sıvı için, sadece bulk modülü anlamlıdır. Ahşap veya kağıt gibi karmaşık bir anizotropik katı için, bu üç modül davranışını tanımlamak için yeterli bilgi içermez ve kişinin genelleştirilmiş Hooke yasasının tamamını kullanması gerekir.

Tanım

Bulk modül $K>0$, denklemle tanımlanabilir

$K=-V{\frac {dP}{dV}}$

burada $P$ basınçtır, $V$ hacimdir ve $dP/dV$ hacme göre basınç türevini belirtir.

Birim kütle dikkate alındığında

$K=\rho {\frac {dP}{d\rho }}$

burada ρ yoğunluktur ve dP/dρ' yoğunluğa göre basınç türevini belirtir (yani hacim ile basınç değişim oranı). Bulk modülünün tersi, bir maddenin sıkışabilirliğini verir.

Termodinamik ilişki

Kesin olarak, Bulk modülü termodinamik bir miktardır ve bir bulk modülünü belirtmek için sıcaklığın sıkıştırma sırasında nasıl değiştiğini belirtmek gerekir: sabit sıcaklık (izotermal $K_{T}$), sabit entropi (izentropik $K_{S}$) ve diğer varyasyonlar mümkün. Bu tür ayrımlar özellikle gazlar için geçerlidir.

İdeal bir gaz için, izentropik işlem şunları içerir:

$PV^{\gamma }=const.\,\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },$

bu nedenle izentropik bulk modülü $K_{S}$ şu şekilde verilir:

$K_{S}=\gamma P.$

Benzer şekilde, ideal bir gazın izotermal süreci:

$PV=const.\,\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,$

bu nedenle izotermal bulk modülü $K_{T}$ verilir,

$K_{T}=P$

burada γ ısı kapasitesi oranı ve p basınçtır.

Gaz ideal olmadığında, bu denklemler sadece bulk modülünün yaklaşık bir değerini verir. Bir akışkanda, toplu modül K ve yoğunluk ρ Newton-Laplace formülüne göre ses c (basınç dalgaları) hızını belirler.

$c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.$

Katılarda, $K_{S}$ ve $K_{T}$ çok benzer değerlere sahiptir. Katılar ayrıca enine dalgaları sürdürebilir: bu malzemeler için dalga hızlarını belirlemek için bir ek elastik modül, örneğin kesme modülü gereklidir.

Ölçüm

Uygulanan basınç altında toz kırınımı kullanılarak bulk modülünü ölçmek mümkündür. Basınç altında hacmini değiştirme yeteneğini gösteren bir sıvının özelliğidir.

Seçilen değerler

Ortak malzemeler için yaklaşık bulk modülü (K)

Malzeme	GPa'da bulk modül	Psi cinsinden bulk modül
kauçuk	7000150000000000000♠1.5 to 7000200000000000000♠2	7005220000000000000♠0.22×106 to 7005290000000000000♠0.29×106
Sodyum klorit	7001244200000000000♠24.42	7006354200000000000♠3.542×106
Cam	7001350000000000000♠35 7001550000000000000♠55 da	7006580000000000000♠5.8×106
Çelik	7002160000000000000♠160	7007232000000000000♠23.2×106
Elmas (at 4K)	7002443000000000000♠443	7007640000000000000♠64×106
Granit	7001500000000000000♠50	7006730000000000000♠7.3×106
Şist	7001100000000000000♠10	7006150000000000000♠1.5×106
Kalker	7001650000000000000♠65	7006940000000000000♠9.4×106
Kireç taşı	7000900000000000000♠9	7006130000000000000♠1.3×106
Kumtaşı	6999700000000000000♠0.7	7005100000000000000♠0.1×106

Bulk modülü 35 GPa olan bir malzemede, 0.35 GPa (~ 3500 bar) harici basınca maruz bırakıldığında hacminin yüzde birini kaybeder.

Diğer maddeler için yaklaşık Bulk modülü (K)

su	7009220000000000000♠2.2 GPa (value increases at higher pressures)
Metanol	7008823000000000000♠823 MPa (at 20 °C and 1 Atm)
Hava	7005142000000000000♠142 kPa (adiabatic bulk modulus)
Hava	7005101000000000000♠101 kPa (constant temperature bulk modulus)
Katı helyum	7007500000000000000♠50 MPa (approximate)

Mikroskobik orijin

Atomlar arası potansiyel ve doğrusal elastikiyet

Doğrusal elastikiyet, atomlar arası etkileşimin doğrudan bir sonucu olduğundan, bağların uzatılması / sıkıştırılması ile ilgilidir. Daha sonra kristalli malzemeler için atomlar arası potansiyelden türetilebilir. İlk olarak, etkileşen iki atomun potansiyel enerjisini inceleyelim. Çok uzak noktalardan başlayarak birbirlerine karşı bir cazibe hissedecektirler. Birbirlerine yaklaştıkça potansiyel enerjileri azalacaktır. Öte yandan, iki atom birbirine çok yakın olduğunda, itici etkileşimi nedeniyle toplam enerjileri çok yüksek olacaktır. Bu potansiyeller birlikte, minimum enerji durumuna ulaşan atomlar arası bir mesafeyi garanti eder. Bu, toplam kuvvetin sıfır olduğu bir mesafe a₀'da gerçekleşir:

$F=-{\partial U \over \partial r}=0$

Burada U atomlar arası potansiyel ve r atomlar arası mesafedir. Bu, atomların dengede olduğu anlamına gelir.

İki atom yaklaşımını katıya genişletmek için, a'nın atomlar arası mesafesi olan bir elemanın 1-D dizisini ve denge mesafesinin a₀ olduğunu düşünün. Potansiyel enerji-atomlar arası mesafe ilişkisi, iki atom vakasına benzer bir şekle sahiptir, bu da a₀'da minimum seviyeye ulaşır, bunun için Taylor genişlemesi verilir:

$u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)$

Dengede, ilk türev 0'dır, bu nedenle hakim terim ikinci dereceden terimdir. Yerini alma küçük olduğunda, daha yüksek düzen şartları çıkarmalıdır. İfade şöyle olur:

$u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}$

$F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})$

ki açıkça doğrusal elastikiyettir.

Derivasyonun iki komşu atom dikkate alınarak yapıldığına dikkat edin, bu nedenle Hook'un katsayısı:

$K=a_{0}*{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}$

Bu form atomlar arası hacim (inte) atomlar arası mesafe yerine kolayca 3-B kasaya genişletilebilir.

$K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}$

Atom yarıçapı ile ilişki

Yukarıda türetildiği gibi, bullk modülü atomlar arasındaki atomlar arası potansiyel ve hacim ile doğrudan ilişkilidir. K'yı diğer özelliklere bağlamak için atomlar arası potansiyeli daha da değerlendirebiliriz. Genellikle, atomlar arası potansiyel, biri çekim için diğeri itme için olmak üzere iki terimi olan mesafenin bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir.

$u=-Ar^{-n}+Br^{-m}$

Burada A > 0 çekim terimini ve B > 0 itmeyi temsil eder. n ve m genellikle integraldir ve m genellikle n'den büyüktür, bu da itmenin kısa menzilli doğasını temsil eder. Denge konumunda, u minimumdadır, bu nedenle birinci dereceden türev 0'dır.

$\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0$

${B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}$

$u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)$

r yakın olduğunda, n'nin (genellikle 1 ila 6) m'den (genellikle 9 ila 12) daha küçük olduğunu hatırlayın, ikinci terimi göz ardı edin, ikinci türevi değerlendirin

$\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}$

R ve Ω arasındaki ilişkiyi hatırlayın

$\Omega ={4\pi \over 3}r^{3}$

$\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}$

$K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}$

Metal veya iyonik malzeme gibi birçok durumda, çekim kuvveti elektrostatiktir, bu nedenle n = 1,

$K\propto r_{0}^{-4}$

Bu, benzer yapışma özellikli atomlar için geçerlidir. Bu ilişki alkali metaller ve birçok iyonik bileşik içinde doğrulanır.