Katı açı

Katı açı
Ortak semboller	Ω
SI birimi	steradyan
Diğer birimler	Kare derece
SI temel birimler	m2/m2
SI Boyut	${\mathsf {L}}^{2}/{\mathsf {L}}^{2}=1$

Geometride, katı açı (sembolü: Ω), belirli bir nesnenin kapsadığı belirli bir noktadan görüş alanı miktarının bir ölçüsüdür. Yani, nesnenin o noktadan bakan bir gözlemciye ne kadar büyük gözüktüğünün bir ölçüsüdür. Nesnenin görüntülendiği noktaya katı açının tepesi denir ve nesnenin katı açısını bu noktadan çıkardığı söylenir.

Uluslararası Birimler Sisteminde (SI), steradyan (sembolü: sr) adı verilen boyutsuz bir birimde sağlam bir açı ifade edilir. Bir stetoskop, apeksi çevreleyen birim küre üzerindeki bir birime tekabül eder, böylece tüm ışınları apektan bloke eden bir nesne, birim kürenin toplam yüzey alanına $4\pi$ eşit sayıda steradianı kapsayacaktır. Katı açılar ayrıca derece, dakika ve saniye gibi açısal ölçülerin karelerinde de ölçülebilir.

Yakındaki küçük bir nesne, uzaktaki daha büyük bir nesneyle aynı katı açıyı döndürebilir. Örneğin, Ay Güneş'ten çok daha küçük olmasına rağmen, Dünya'ya da çok daha yakındır. Nitekim, Dünya üzerindeki herhangi bir noktadan bakıldığında, her iki nesne de görünür boyutun yanı sıra yaklaşık olarak aynı açılıdır. Bu güneş tutulması sırasında belirgindir.

Tanım ve özellikler

Bir cismin stediyanlardaki katı açısı, apeks merkezinde ortalanmış olan cismin kapladığı birim kürenin bölümünün alanına eşittir. Stedianlardaki katı açı, bir ünite küresinin bir bölümünün alanını, aynı şekilde, radyanlar içindeki bir düzlemsel açının, bir birim dairenin yayının uzunluğuna eşittir; bu nedenle, radyanlarda düzlemsel bir açı gibi, dairesel bir yayın uzunluğunun yarıçapına oranıdır, steradianlarda katı açı aşağıdaki orandır:

$\Omega ={\frac {A}{r^{2}}}$

burada A, küresel yüzey alanıdır ve r, dikkate alınan kürenin yarıçapıdır.

Katı açılar genellikle astronomide, fizikte ve özellikle astrofizikte kullanılır. Çok uzaktaki bir nesnenin katı açısı kabaca alanın kare mesafeye oranıyla orantılıdır. Burada "alan", görüntüleme yönü boyunca yansıtıldığında nesnenin alanı anlamına gelir.

İçindeki herhangi bir noktadan ölçülen bir kürenin katı açısı 4π sr,'dir ve bir küpün merkezinde yüzlerinden biri tarafından çevrilen sağlam açı bunun altıda biri veya 2π/3 sr'dir. Katı açılar ayrıca kare derece (1 sr = (180/π)^{2</sup kare derece), kare dakika ve kare saniye cinsinden veya kürenin kesirlerinde (1 sr = 1/4π fraksiyonel alan) olarak da ölçülebilir. Ayrıca spat olarak da bilinir (1 sp = 4π sr).}

Küresel koordinatlarda, diferansiyel için bir formül vardır.

$d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$

burda θ açısal yükseklik (kuzey kutbundan açı) ve φ ise boylamdır.

P noktasında tutulan isteğe bağlı yönelimli bir yüzey S için katı açı, yüzey S'nin yüzey integrali olarak hesaplanabilen merkez P ile birime küre çıkıntısının katı açısına eşittir:

$\Omega =\iint \limits _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}\,d\Sigma }{r^{2}}}\ =\iint \limits _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$

burda ${\hat {r}}={\tfrac {\vec {r}}{r}}$ ${\vec {r}}$'ye karşılık gelen birim vektördür, dΣ noktası P'ye göre sonsuz küçük bir alanın konum vektörüdür ve burada ${\hat {n}}$ , dΣ'nin birim normal vektörünü temsil eder. Birim küre üzerindeki S yüzeyine çıkıntı izomorfik olmasa da, çoklu katlar skaler ürünün ${\hat {r}}\cdot {\hat {n}}$. işareti ile açıklanan yüzey yönüne göre doğru olarak dikkate alınır.

Böylece, düz yüzey alanına dΣ, oryantasyon ${\hat {n}}$ ve izleyiciden r uzaklığı olan küçük bir yön tarafından tutulan katı açı yaklaşık olarak gösterilebilir:

$d\Omega =4\pi \left({\frac {d\Sigma }{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}})$

bir kürenin yüzey alanı A = 4πr² dir.

Pratik uygulamalar

• Işık yoğunluğunu ve parlaklığını ve karşılık gelen radyometrik miktarları ışıma yoğunluğunu ve ışığını tanımlama
• Küresel üçgenin küresel aşırı E değerinin hesaplanması
• Sınır eleman yöntemi kullanılarak potansiyellerin hesaplanması (BEM)
• Metal komplekslerinde ligandların boyutunun değerlendirilmesi, bakınız ligand koni açısı
• Yük dağılımları etrafındaki elektrik alanın ve manyetik alan kuvvetinin hesaplanması
• Gauss Yasasını türetmek
• Isı transferinde emisyon gücü ve ışınlamanın hesaplanması
• Rutherford saçılmasında enine kesitlerin hesaplanması
• Raman saçılmasında enine kesitlerin hesaplanması
• fiber optik / Optik fiberin kabul konisinin katı açısı