Ondalık

Ondalık sayı sistemi (ayrıca taban on konumsal sayı sistemi olarak da adlandırılır ve bazen denary veya ondalık olarak da adlandırılır), tam sayı ve tam sayı olmayan sayıları belirtmek için standart sistemdir. Hindu-Arapça sayı sisteminin tam sayı olmayan sayılarının uzantısıdır. Ondalık sistemde sayıları belirtme yoluna genellikle ondalık gösterimi denir.

Ondalık sayı, ya da sadece ondalık ya da rasgele ondalık sayı, genellikle ondalık sayı sistemindeki bir sayının gösterilmesine işaret eder. Ondalık ayırıcılar bazen ondalık ayırıcı içermek için tanımlanabilir (örneğin 10.00 veya 3.14159'da "."). "Ondalık" ayrıca, "3.14, ila iki ondalık değerin yaklaşıklığıdır" gibi, ondalık ayırıcıdan sonraki rakamları da belirtebilir.

Ondalık sistemde temsil edilebilecek sayılar, ondalık kesirler, yani a/10ⁿ biçimindeki kesirlerdir, burada a bir tam sayı ve n, negatif olmayan bir tam sayıdır.

Ondalık sistem, herhangi bir gerçek sayıyı temsil etmek için, ondalık ayırıcıdan sonra sonsuz bir basamak dizisi kullanılarak, sonsuz ondalık sayılara genişletilmiştir (bkz. Onlu gösterim). Bu bağlamda, ondalık ayırıcıdan sonra sınırlı sayıda sıfır olmayan yere sahip ondalık sayılara bazen sonlandırıcı ondalık sayılar denir. Yinelenen bir ondalık, bazı yerlerden sonra sonsuza dek aynı basamak sırasını tekrar eden sonsuz bir ondalıktır (örneğin 5.123144144144144 ... = 5.123144). Sonsuz bir ondalık, yalnızca yinelenen bir ondalıksa veya sınırlı sayıda sıfır olmayan basamağa sahipse rasyonel bir sayı gösterir.

Köken

Pek çok eski antik uygarlık sistemi, sayıları temsil etmek için on ve onun gücünü kullanır, çünkü muhtemelen iki elin üzerinde on parmak vardır ve insanlar parmaklarını kullanarak saymaya başlamışlardır. Örnekler Brahmi rakamları, Yunan rakamları, İbranice rakamları, Roma rakamları ve Çin rakamlarıdır. Bu eski sayı sistemlerinde çok büyük sayıları temsil etmek zordu ve yalnızca en iyi matematikçiler büyük sayıları çarparak ya da bölebildiler. Bu zorluklar, tamsayıları temsil etmek için Hindu-Arapça sayısal sistemin tanıtımıyla tamamen çözüldü. Bu sistem, ondalık sayı sistemi oluşturmak için ondalık kesir veya ondalık sayı adı verilen bazı tam sayı olmayan sayıları temsil edecek şekilde genişletildi.

Ondalık gösterim

Sayı yazmak için, ondalık sistem on ondalık basamak, ondalık işareti ve negatif sayılar için eksi işareti "-" kullanır. Ondalık basamaklar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ondalık ayırıcı "nokta" dur. birçok ülkede, ancak diğer ülkelerde (özellikle kıta Avrupasında) virgül "," olabilir. Negatif olmayan bir sayıyı temsil etmek için bir ondalık sayı

• 2017 gibi bir (sonlu) rakam dizisi veya genel olarak,

$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$

(bu durumda, (tamamı) ondalık, bir tamsayıyı temsil eder)

• veya 3.14159, 15.00 gibi bir ondalık işaretiyle veya tam genel olarak ayrılmış iki basamak dizisi

$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$

Genelde, m > 0 ise, ilk hanenin sıfır olmadığı varsayılır, ancak bazı durumlarda solda bir veya daha fazla 0 olması yararlı olabilir. Bu ondalık tarafından temsil edilen değeri değiştirmez. Örneğin, 3.14 = 03.14 = 003.14, Benzer şekilde, eğer b_n =0 ise, kaldırılabilir ve tersine, temsil edilen numara değiştirilmeden sondaki sıfırlar eklenebilir: : örneğin, 15 = 15.0 = 15.00 ve 5.2 = 5.20 = 5.200. otomimes, ekstra sıfırlar bir ölçümün doğruluğunu göstermek için kullanılır. Örneğin, 15.00 m, ölçüm hatasının bir santimetreden (0.01 m) az olduğunu, 15 m ise uzunluğun kabaca on beş metre olduğunu ve hatanın 10 cm'yi aşabileceğini gösterebilir.

Negatif bir sayıyı temsil etmek için, a_m önce bir eksi işareti yerleştirilir.

Rakam $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ sayıyı temsil eder.

$a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}$

Bu nedenle, her bir basamağın bir sayının değerine katkısı, sayıdaki konumuna bağlıdır. Yani, ondalık sistem konumsal bir sayı sistemidir.

Ondalık kesirler

Ondalık sayılarla temsil edilen sayılar, ondalık kesirlerdir (bazen ondalık sayılar olarak adlandırılır), yani, payda değeri on olan bir kesir olarak ifade edilebilen rasyonel sayılardır. Örneğin, 0.8, 14.89, 0.00024 sayıları $0.8,14.89,0.00024$, 8/10, 1489/100, 24/100000 fraksiyonlarını temsil eder. Daha genel olarak, ayırıcıdan sonra n basamaklı bir ondalık sayı, ayırıcıyı ayırmak suretiyle elde edilen tam sayı olan payda 10ⁿ ile kesriyi temsil eder.

Tamamen azaltılmış bir kesir olarak ifade edilen, ondalık sayılar, paydası 2 gücünün bir çarpımı ve 5'in gücü olan sayılardır.

$1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots$

Bir ondalık basamağın tamsayısı veya integral kısmı, ondalık ayırıcının soluna yazılan tamsayıdır (ayrıca kısaltmaya bakın). Negatif olmayan bir ondalık sayı için, ondalık sayıdan büyük olmayan en büyük tam sayıdır. Ondalık ayırıcıdan sağa doğru olan kısım, sayı ile tam sayı olan kısım arasındaki farka eşit olan kesirli kısımdır.

Bir sayının integral kısmı sıfır olduğunda, tipik olarak hesaplamada, tamsayı bölümünün yazılmaması olabilir (örneğin, 0.1234 yerine, 1234). Normal yazıda, ondalık işareti ve diğer noktalama işaretleri arasındaki karışıklık riski nedeniyle bu genellikle önlenir.

Gerçek sayı yaklaşımı

Ondalık sayılar, tüm gerçek sayılar için tam bir gösterime izin vermez, örn. Gerçek sayı için π. Bununla birlikte, her gerçek sayıya istenen herhangi bir doğrulukla, örneğin, 3.14159 ondalık basamağı, gerçek 10'a yaklaşır, 10⁻⁵'ten daha az olur; ve böylece ondalık sayılar, bilim, mühendislik ve günlük yaşamda yaygın olarak kullanılır.

Daha doğrusu, her gerçek sayı x ve her pozitif tamsayı n için, L ve u'nın iki ondalık işareti vardır, ondalık işaretinden sonra en çok n basamağı vardır, öyle ki L ≤ x ≤ u ve (u – L) = 10⁻ⁿ.

Ölçümler sonucunda rakamlar çok sık elde edilir. Ölçümler genel olarak bilinen bir üst sınır ile bazı ölçüm hataları ile etkilendiğinden, bir ölçümün sonucu, mutlak ölçüm hatası yukarıdan 10⁻ⁿ ile sınırlanır bağlanmaz, ondalık işaretinden sonra n basamaklı bir ondalık ile iyi bir şekilde gösterilir. Uygulamada, ölçüm sonuçları genellikle ondalık basamaktan sonra hata sınırlarını gösteren belirli sayıda basamakla verilir. Örneğin, 0.080 ve 0.08 aynı ondalık sayıyı göstermesine rağmen, 0.080 rakamı 0.001'den daha az hata içeren bir ölçüm önerir, 0.08 rakamı ise 0.01 ile sınırlanmış mutlak bir hatayı gösterir. Her iki durumda da ölçülen miktarın gerçek değeri, örneğin 0,0803 veya 0,0796 olabilir.