Sayısal sistem

Sayısal sistem (veya sayı sistemi) sayıları ifade etmek için bir yazı sistemidir; diğer bir deyişle, rakamları veya diğer sembolleri tutarlı bir şekilde kullanarak verilen bir setin sayılarını temsil eden matematiksel bir gösterimdir.

Aynı sembol dizisi, farklı sayı sistemlerinde farklı sayıları temsil edebilir. Örneğin, "11", ondalık sayı sisteminde (ortak yaşamda kullanılan) onbir sayıyı, ikili sayı sistemindeki (bilgisayarlarda kullanılan) üç sayıyı ve (tek satırlık işleminde kullanılan) ikili sayı sistemindeki iki sayıyı temsil eder.)

Sayının temsil ettiği sayıya değer adı verilir. İdeal olarak, bir sayı sistemi:

• Yararlı bir sayılar dizisini (örneğin tüm tam sayılar veya rasyonel sayılar) gösterir.
• Her numaraya temsil edilen benzersiz bir temsil (veya en azından standart bir temsil) verilir.
• Sayıların cebirsel ve aritmetik yapısını yansıtır.

Örneğin, tam sayıların olağan ondalık gösterimi, sıfır olmayan her sayıya, sıfır olmayan bir rakamla başlayan sonlu bir sayı dizisi olarak benzersiz bir temsil sağlar. Bununla birlikte, rasyonel veya gerçek sayılar için ondalık gösterim kullanıldığında, bu sayılar, genel olarak, sonsuz sayıda gösterime sahip olduğunda, örneğin 2.31, bunların tümü 2.310, 2.3100000, 2.309999999 ... vb. Olarak da yazılabilir. gösterilen daha fazla sayıda rakamın daha fazla hassasiyet gerektirdiği bazı bilimsel ve diğer bağlamlar dışında aynı anlama sahiptir.

Sayısal sistemler bazen sayı sistemleri olarak da adlandırılır, ancak bu isim, gerçek sayıların sistemi, karmaşık sayıların sistemi, p-adik sayıların sistemi gibi farklı sayı sistemlerine atıfta bulunabileceği için belirsizdir. Ancak bu tür sistemler bu makalenin konusu değildir.

Ana sayısal sistemler

En sık kullanılan sayı sistemi, Hindu-Arapça sayı sistemidir. İki Hintli matematikçi onu geliştirdiğine inanılıyor. Kusumapura'lı Aryabhata, 5. yüzyıl civarında basamak değeri gösterimini geliştirdi ve Brahmagupta sıfır sembolünü tanıttı. Hindistan'daki Hindular tarafından geliştirilen sayısal sistem ve sıfır kavramı, Hindistan ile olan ticari ve askeri faaliyetlerinden dolayı diğer çevre ülkelere yavaşça yayıldı. Araplar onu benimsemiş ve değiştirmiştir. Bugün bile, Araplar "Rakam Al-Hind" veya Hindu sayı sistemini kullandıkları sayıları söylüyor. Araplar, Hindu metinlerini numeroloji üzerine çevirdiler ve onlarla ticari bağları nedeniyle batı dünyasına yaydılar. Batı dünyası onları değiştirdi ve Arap rakamlarını, Araplardan öğrendikleri gibi adlandırdı. Dolayısıyla şu anki batı sayısal sistem Hindistan'da geliştirilen Hindu sayısal sistemin değiştirilmiş versiyonudur. Aynı zamanda, hala Hindistan ve komşu Nepal'de kullanılan Sanskritçe-Devanagari gösterimde büyük benzerlik göstermektedir.

En basit sayı sistemi, her doğal sayının karşılık gelen sayıda simge ile temsil edildiği tek sayı sistemidir. Eğer / sembolü seçildiyse, örneğin, yedi numara /////// ile gösterilir. Tally işaretleri hala böyle bir sistemi hala yaygın olarak kullanılmaktadır. Tek sistem, teorik bilgisayar bilimlerinde önemli bir rol oynamasına rağmen, sadece küçük sayılar için kullanışlıdır. Veri sıkıştırma işleminde yaygın olarak kullanılan Elias gama kodlaması, ikili sayının uzunluğunu belirtmek için birli kullanarak rasgele boyutta sayıları ifade eder.

Birli işaretlerle gösterim, belirli yeni değerler için farklı semboller eklenerek kısaltılabilir. Çok yaygın olarak, bu değerler 10'luk üstlerdir; bu nedenle, örneğin / için bir, - için on ve + için 100 için, o zaman 304 sayısı kompakt olarak +++ //// ve 123 sayısını + - - /// olarak sıfıra gerek kalmadan gösterebilir. Buna işaret-değer gösterimi denir. Eski Mısır rakam sistemi bu tipti ve Roma rakam sistemi bu fikrin bir modifikasyonuydu.

Daha da kullanışlı olanı, sembollerin tekrarları için özel kısaltmalar kullanan sistemler; örneğin, bu kısaltmalar için alfabenin ilk dokuz harfini kullanarak, "bir oluşum" için duran, B "iki oluşum", vb., biri daha sonra 304 sayısı için C + D / yazabilir. Bu sistem, Çinli rakamları ve Çince tabanlı diğer Doğu Asya rakamlarını yazarken kullanılır. İngilizcenin sayı sistemi, hangi yazılı sistemleri benimsemiş olduklarına bakılmaksızın, diğer konuşma dillerinde olduğu gibi bu tiptedir ("üç yüz [ve] dört"). Bununla birlikte, birçok dil baz karışımlarını kullanır ve diğer özellikler, örneğin, Fransızca 79, soixante dix-neuf (60 + 10 + 9) ve Galce ise, bir Thrigain (4 + (5 + 10) + (3) × 20)) veya (biraz arkaik) pedwar ungurce namyn un (4 × 20 - 1). İngilizce'de, "87 yıl önce", "dört sayı ve yedi yıl önce" olarak gösterilen ünlü Gettysburg Adresinde olduğu gibi, "dört sayı bir sayı az" diyebilir.

Daha zarif, aynı zamanda, basamak değeri gösterimi olarak da bilinen basamaklı nümerasyon bir sistemdir. Yine 10 tabanında çalışan on farklı rakam 0, ..., 9 kullanılır ve bir basamağın konumu, basamağın 304 = 3 × 100 + 0'da olduğu gibi çarpılması gerektiğini göstermek için onun gücünü belirtir. × 10 + 4 × 1 veya daha iyisi 3 × 102 + 0 × 101 + 4 × 100. Diğer sistemlerde gerekli olmayan sıfıra, bir sayı "atlayabilmek" için burada çok önemli olduğunu unutmayın. Hindistan'da ortaya çıkan ve şimdi dünya çapında kullanılan Hindu-Arap rakam sistemi, konumsal bir temel 10 sistemidir.

Aritmetik konumsal sistemlerde, önceki eklenecek maddelerinde olduğundan daha kolaydır; ayrıca ilave sistemler, 10'un farklı güçleri için çok sayıda farklı sembole ihtiyaç duyar; Konumsal bir sistem sadece on farklı sembole ihtiyaç duyar (10 tabanını kullandığı varsayılarak).

Konumsal ondalık sistemi günümüzde evrensel olarak insan yazımında kullanılmaktadır. Taban (1000), aynı zamanda (evrensel olmasa da), basamakları gruplayarak ve üç ondalık basamaklı bir diziyi tek bir basamak olarak düşünerek kullanılır. Bu çok büyük sayılar için kullanılan ortak gösterim no: 1,000,234,567'nin anlamıdır.

Bilgisayarlarda, ana sayısal sistemler, taban 2'deki (ikili sayı sistemi) konumsal sisteme, ikili basamak, 0 ve 1'e dayanmaktadır. İkili sayıların üç (sekizlik sayı sistemi) ya da dört (onaltılık sayı) ile gruplandırılmasıyla elde edilen konumsal sistemler) yaygın olarak kullanılır. Çok büyük tamsayılar için baz 232 veya 264 (ikili basamakları 32 veya 64'e göre gruplama, makine sözcüğünün uzunluğu) örneğin GMP'de kullanılır.

Bazı biyolojik sistemlerde, birleşik kodlama sistemi kullanılır. Birdsong üretiminden sorumlu sinir devrelerinde kullanılan tekli sayılar. Kuşların hem öğrenilmesinde hem de yapımında rol oynayan ötücü kuşların beynindeki çekirdekler HVC'dir (yüksek ses merkezi). Birdsong'daki farklı gösterimler için komut sinyalleri HVC'deki farklı noktalardan kaynaklanmaktadır. Bu kodlama, doğal sadeliği ve sağlamlığı nedeniyle biyolojik devreler için etkili bir strateji olan alan kodlaması olarak çalışır.

Rakam veya sembollü sayılar yazarken kullanılan sayılar aritmetik sayılar (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ve geometrik sayılar (1) olarak adlandırılabilecek iki türe ayrılabilir. , Sırasıyla 10, 100, 1000, 10000 ...). İşaret değer sistemleri yalnızca geometrik sayıları kullanır ve basamaklı sistemler yalnızca aritmetik sayıları kullanır. Bir işaret-değer sistemi aritmetik sayılara ihtiyaç duymaz, çünkü tekrarlama ile yapılırlar (İyonik sistem hariç) ve konumsal bir sistem geometrik sayılara ihtiyaç duymaz, çünkü konumsaldırlar. Ancak, konuşulan dil hem aritmetik hem de geometrik sayıları kullanır.

Bilgisayar biliminin bazı alanlarında, bijektif numaralandırma adı verilen, 1, 2, ..., k (k ≥ 1) rakamları olan ve sıfır boş bir dize ile temsil edilen değiştirilmiş bir temel k konumsal sistem kullanılır. Bu, tüm bu sayı dizgileri kümesi ile negatif olmayan tam sayılar kümesi arasında bir ayrım oluşturur ve önde gelen sıfırların neden olduğu benzersizliği önler. Sıfat temelli-k numaralandırmasına, p-adik sayılarla karıştırılmaması için k-adik gösterimi de denir. Sıfat üssü 1, birli ile aynıdır.

Basamaklı sayma sistemi detaylı

Basamaklı sayma sistemi bir baz b sayı sisteminde (b, yarıçap olarak bilinen 1'den büyük bir doğal sayı ile), sıfır dahil birinci b doğal sayılara karşılık gelen b temel semboller (veya rakamlar) kullanılır. Rakamların geri kalanını üretmek için, sembolün şekildeki pozisyonu kullanılır. Son konumdaki sembolün kendi değeri vardır ve sola doğru hareket ettikçe değeri b ile çarpılır.

Örneğin, ondalık sistemde (taban 10), 4327 rakamı (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰)}} anlamına gelir, ki bu 10⁰ = 1'dir.

Genel olarak, eğer b, baz ise, b baz sayısında a_nbⁿ + a_{n − 1}b^{n − 1} + a_{n − 2}b^{n − 2} + ... + a₀b⁰ şeklinde ifade edilip numaralandırılmış rakamları yazarak bir sayı yazar. a_na_{n − 1}a_{n − 2} ... a₀ azalan sırada. Rakamlar dahil 0 ile b − 1 arasındaki doğal sayılardır.

Bir metin (bunun gibi) birden fazla temeli tartışıyorsa ve belirsizlik varsa, taban (kendisinin 10 tabanında temsil edilen) aboneye sayının sağına, bu gibi: numberbase eklenir. Bağlam tarafından belirtilmediği sürece, alt simge içermeyen sayılar ondalık sayılır.

Rakamları iki gruba ayırmak için bir nokta kullanarak, bir de Basamaklı sayma sistemine kesirler yazabilir. Örneğin, 10.11 numaralı baz, 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 2.75 anlamına gelir.

Genel olarak, b tabanındaki sayılar aşağıdaki gibidir:

$(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots )_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.$

Sayma sisteminin temeli

Her dilde sayı sistemleri yoktur. Spesifik olarak, ticaretle uğraşmayan avcı-toplayıcılar arasında sayısal sistemlere çok fazla ihtiyaç yoktur. Dünyadaki birçok dilde, iki ila dörün üzerinde bir rakam yoktur - veya en azından sömürge toplumlarıyla temas etmeden önce - ve bu dilleri konuşanlar saymak için sahip oldukları sayıları kullanma geleneğine sahip olmayabilir. Gerçekten de, Amazon'dan gelen birkaç dilden bağımsız olarak 'bir' dışında belirli bir sayı kelimesi olmadığı rapor edilmiştir. Bunlar arasında Nadëb, Mocoví ve Pilagá, Culina ile önceden temasa geçip Jarawara, Jabutí, Canela-Krahô, Botocudo (Krenák), Chiquitano, Campa dilleri, Arabela ve Achuar yer almaktadır. Warlpiri gibi Avustralya’nın bazı dilleri, Avrupa ile temas sırasında birçok Khoisan dilinin yaptığı gibi, ikiden büyük miktarlar için kelimelere sahip değildir. Bu dillerin 'sayı' kelimesi yoktur.

Hem sayı hem de sayma olan birçok dilde taban 8, 10, 12 veya 20 kullanılır. Taban 10 birinin parmaklarını sayar, taban 20'yi parmaklardan, taban 8'in parmaklar arasındaki boşlukları saymaktan gelir (California'da onaylanır). ve taban 12, parmak boğum saymaktan (dört parmak için her bir parmakta 3 bogum) gelir.

Çok büyük (ve çok küçük) sayılar için, geleneksel gösterimler bilimsel gösterim ve SI ön ekleri sistemi kullanılarak değiştirilmiştir. Geleneksel sistemler günlük yaşamda kullanılmaya devam edilmektedir.

Taban yok

Birçok Melanesia dili, (veya bir zamanlar vardı), cisimin sayısal bir tabanı olmayan kısımlarına dayanan sayma sistemlerine sahiptir; rakamlar yoktur, fakat bedenin ilgili kısımları için isimler veya basitçe ilgili noktaları gösteren adlar miktarlar için kullanılmıştır. Örneğin, 1-4 parmakları, 5 'başparmak', 6 'bilek', 7 'dirsek', 8 'omuz', vb., Vücudun karşısındaki ve diğer kolun aşağısında olabilir; 17 (Torres Adaları) ila 23 (Eleman) arasında bir sayıyı temsil eder. Bunun ötesindeki sayılar için, gövde, bacaklar ve ayak parmakları kullanılabilir veya insan bağlı olarak biri diğer kolu geri çekip, ilkini geri çekebilir.

4: dörtlü

Bazı Avustronezya ve Melanezya etnik grupları, bazı Sulawesi ve bazı Papua Yeni Gineliler, her yerde bulunan köy köpeğinin dört bacağına sahip olan köpek kelimesini asu ve aso terimlerini kullanarak dört numaralı üs ile saymaktadır. Bu antropologlar tarafından, aynı zamanda iki kol ve iki bacağın insan ve hayvanın ortak vücut özelliğini ve aynı zamanda basit aritmetik ve sayma kolaylığı olduğunu belirten erken insanlara dayandığını iddia ediyor. Sistemin kolaylığına bir örnek olarak, gerçekçi bir senaryo, piyasadan dönen elli asu domuz başı (200), daha az 30 asu (120) domuz, 10 asu (40) keçi için çarpılmış, yeni domuz sayısını belirten bir domuz çiftçi içerebilir yirmi asu toplamı: 80 domuz kaldı. Sistem, düzine sayma sistemi ile bir korelasyona sahiptir ve bu alanlarda hala basit bir aritmetik yöntem olarak yaygın şekilde kullanılmaktadır.

5: beşli

Beşli sistemleri, 5 sayısına dayanmaktadır. Neredeyse kesin olarak parmak sayma yoluyla geliştirilen kuiner sistemin (el başına beş parmak) olduğu kesindir. Bunun bir örneği, 5 luna 'el', 10 lua-luna 'iki el', 15 tolu-luna 'üç el' vb. Olan Vanuatu dilleridir. 11 daha sonra lua-luna tai 'iki elli bir' ve 17 tolu-luna lua 'üç elli iki'dir.

5 ortak bir yardımcı taban veya alt tabandır, burada 6 'beş ve bir', 7 'beş ve iki' vb. Aztec, alt taban 5'e sahip bir vigesimal (taban-20) sistemdir.

6: altılı

Güney Yeni Gine'nin Morehead-Maro dilleri nadir bulunan üs 6 sisteminin örnekleridir. Kanum bu dillerden biridir. Yeni Gine'nin Kuzey Kıyısı'ndaki Sko dilleri 6'nın (altı) olan bir üs-24 sistemini takip ediyor.

7: yedili

Yedili sistemler çok nadirdir, zira az sayıda doğal nesne sürekli yedi farklı özelliğe sahiptir. Geleneksel olarak hafta ile ilgili zamanlamada ortaya çıkar. Palikur dilinin yedi temelli bir sisteme sahip olabileceği öne sürüldü, ancak bu şüphelidir.

8: sekizli

Sekizli sayma sistemleri, 8 sayısına dayanmaktadır. California'nın Yuki dilinde ve Meksika'nın Pamean dillerinde kullanılır, çünkü Yuki ve Pame, parmaklar yerine parmaklarının arasındaki dört boşluğu kullanarak saymaya devam ederler.

9: dokuzlu

Nenets'in dokuzuncu temel bir sisteme sahip olduğu öne sürüldü.

10: ondalık

Geleneksel sayı sistemlerinin çoğunluğu ondalıktır. Bu, en azından tamamen ondalık bir sistem kullanan eski Mısırlılara dayanıyor. Antropologlar bunun el başına beş rakam olan ve toplamda on olan insanlar nedeniyle olabileceğini varsaymaktadır. Aşağıdakiler de dahil olmak üzere birçok bölgesel varyasyon vardır:

• Batı sistemi: Binlerce dayalı, değişkenli (ingilizce rakamlarına bakınız)
• Hint sistemi: crore, lakh (bkz. Hint numaralandırma sistemi. Hint rakamları)
• Doğu Asya sistemi: on bine göre (aşağıya bakınız)

12: onikili

Onaltılık sistemler 12 dayanmaktadır. Bunlar şunları içerir:

• Nepal’in Chepang dili,
• Hindistan'da Minicoy Adası'nın Mahl dili
• Janji, Kahugu ve Gwandara'nın Nimbia lehçeleri gibi Nijeryalı Orta Kuşak alanları.
• Melanezya
• yeniden yapılandırılmış proto-Benue-Kongo

Onaltılık sayısal sistemler, ondalık sayılara göre bazı pratik avantajlara sahiptir. Baz basamak on ikiyi (yüksek oranda bileşik bir sayıdır) bölmek, 2 ve 3, 4 ve 6 gibi pazar ve ticaret ortamındaki birçok önemli bölen tarafından bölünmesi daha kolaydır.

On iki temele dayanan çeşitli ölçümler nedeniyle, çoğu Batı dilinde, 360 için "iki brüt altı düzine" gibi ilkel oniki adlandırmalara izin veren düzine, brüt ve büyük brüt gibi on iki birim için sözcükler vardır. Eski Romalılar tamsayılar için bir ondalık sistem kullandılar, ancak kesirler için on ikilik bir anahtar kullandılar ve buna bağlı olarak Latince onaltılı temelli kesirler için zengin bir kelime haznesi geliştirdi (bkz. Roma rakamları). Dikkate değer bir kurgusal onaltılık sistem, onikilik yanı sıra onursal kullanılan J. R. R. Tolkien'in Elf dilleri idi.

20: yirmili

Yirmili sayıları sayma için 20 sayısını temel sayı olarak kullanır. Antropologlar sistemi, beşinci ve onluk üslerin olduğu gibi, rakamların sayılmasından kaynaklandığından, yirmi insan parmağı ve ayak parmağının sayısı birleştiğinden, sistemin dünya çapında yaygın bir şekilde kullanıldığına ikna oldular. Bazıları bugün hala torunlarının modern yerli dillerinde, örneğin Nahuatl ve Maya dillerinde kullanılmakta olan klasik Meso-Amerikan kültürlerini içerir (Maya numaralarına bakınız). Tam bir sistem kullanan modern bir ulusal dil Butan'da Dzongkha'dır.

Kaynak

Burdaki yer alan bilgiler en:Numeral system sayfası'ndan çevirilerek edinilmiştir.