Dirac denklemi

Kuantum mekaniği
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle$ Schrödinger denklemi
Giriş Sözlük Tarihçe
Arka plân Klasik mekanik Eski kuantum teorisi Bra–ket notasyonu Hamiltoniyen Girişim
Temelleri Casimir etkisi Tutarlılık Ayrışma Tamamlayıcılık Enerji seviyesi Dolanılıklık Hamiltoniyen Belirsizlik ilkesi Temel durumu Girişim Ölçüm Yerbilinmezliği Gözlenebilen işleç Kuantum Kuantum dalgalanması Kuantum köpüğü Kuantum levitation Kuantum sayısı Kuantum gürültüsü Kuantum alemi Kuantum durumu Kuantum sistemi Kuantum ışınlanması Qubit Spin Süperpozisyon Simetri (Doğal) Simetri kırılması tünelleme Vakum durumu Dalga yayılımı Dalga fonksiyonu Dalga fonksiyonu çöküşü Dalga-parçacık ikiliği Madde dalgası
Deneyler Afshar Bell'in eşitsizliği Davisson–Germer Çift yarık Elitzur–Vaidman Franck–Hertz Leggett – Garg eşitsizliği Mach–Zehnder Popper Quantum eraser (delayed-choice) Schrödinger's cat Quantum suicide and immortality Stern–Gerlach Wheeler's delayed-choice
formülasyonlar Overview Heisenberg Interaction Matrix Phase-space Schrödinger Sum-over-histories (path integral)
Denklemler Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Yorumlama Overview Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Many-worlds Objective collapse Bayesian Quantum logic Relational Stochastic Scale relativity Transactional
Gelişmiş konular Quantum annealing Quantum chaos Quantum computing Density matrix Quantum field theory Fractional quantum mechanics Quantum gravity Quantum information science Quantum machine learning Perturbation theory (quantum mechanics) Relativistic quantum mechanics Scattering theory Spontaneous parametric down-conversion Quantum statistical mechanics
Bilim adamları Aharonov Bell Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger

Parçacık fiziğinde, Dirac denklemi 1928'de İngiliz fizikçi Paul Dirac tarafından türetilmiş rölativistik bir dalga denklemidir. Serbest formda veya elektromanyetik etkileşimler dahil olmak üzere, parite bir simetri olan elektronlar ve kuarklar gibi tüm spin-1/2 masif partikülleri tarif eder. Kuantum mekaniğinin prensipleri ve özel görelilik kuramı ile tutarlıdır ve kuantum mekaniği bağlamında özel göreliliği tam olarak hesaba katan ilk teoriydi. Hidrojen tayfının ince detaylarının tamamen titiz bir şekilde hesaplanmasıyla doğrulanmıştır.

Denklem, aynı zamanda, birkaç yıl sonra deneysel olarak teyit edilen ve daha önce hiç durulmamış ve gözlemlenmemiş olan yeni bir madde, antimadenin varlığını da ima etti. Ayrıca Pauli'nin fenomenolojik spin teorisinde birkaç bileşenli dalga fonksiyonlarının tanıtımı için teorik bir gerekçe sağladı; Dirac teorisindeki dalga fonksiyonları, iki karmaşık sayının (bispinors olarak bilinir) vektörleridir, ikisi de sadece bir kompleks değerin dalga fonksiyonlarını tanımlayan Schrödinger denkleminin tersine, relatif olmayan sınırdaki Pauli dalga fonksiyonuna benzemektedir. Ayrıca, sıfır kütle sınırı içinde, Dirac denklemi Weyl denklemine indirgenir.

Dirac ilk başta sonuçlarının önemini tam olarak anlamadıysa da, kuantum mekaniği ve görelilik birliğinin bir sonucu olarak ortaya çıkan eğrinin açıklanmış açıklaması ve pozitronun nihai keşfi, teorik fiziğin en büyük zaferinden birini temsil eder. Bu başarı, ondan önce Newton, Maxwell ve Einstein'ın eserleri ile tam olarak tarif edilmiştir. Kuantum alan teorisi bağlamında, Dirac denklemi spin-1/2 parçacıklarına karşılık gelen kuantum alanları tanımlamak için yeniden yorumlanır.

Matematiksel formülasyon

Dirac tarafından önerilen formdaki Dirac denklemidir:

Dirac equation (original) $\left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}$

burada ψ = ψ(x, t) uzay boyu koordinatlarına x, t sahip elektron durum kütlesi m dalga fonksiyonudır. p₁, p₂, p₃ Schrödinger denklemindeki momentum operatörü olduğu anlaşılan momentumun bileşenleridir. Ayrıca c, ışığın hızıdır ve ħ Plan Planck sabiti 2π'ye bölünür. Bu temel fiziksel sabitler sırasıyla özel görelilik ve kuantum mekaniğini yansıtır.

Dirac'ın bu denklemin dökümündeki amacı, göreceli olarak hareket eden elektronun davranışını açıklamak ve böylece atomun görelilik ile tutarlı bir şekilde davranmasına izin vermektir. Oldukça mütevazi beklentisi, bu şekilde ortaya konan düzeltmelerin, atomik spektrum problemi üzerinde bir etkisi olabilirdi. O zamana kadar, atomun eski kuantum teorisini, görelilik kuramı ile uyumlu hale getirme girişimleri, elektronun atom çekirdeğinin muhtemelen dairesel olmayan yörüngesinde depolanan açısal momentumun ayrılmasına dayanan girişimler başarısız olmuştu - ve yeni kuantum Heisenberg, Pauli, Jordan, Schrödinger ve Dirac'ın mekaniği, bu sorunu çözmek için yeterince gelişmemişti. Dirac'ın özgün niyetleri yerine getirilmiş olmasına rağmen, denklemi maddenin yapısını çok daha derinden etkiledi ve şimdi temel fiziğin temel unsurları olan yeni matematiksel sınıflarını tanıttı.

Bu denklemdeki yeni elemanlar 4 × 4 matriks α_k ve β ve dört bileşenli dalga fonksiyonu ψ'dır. ψ İn içinde dört bileşen vardır çünkü konfigürasyon alanında herhangi bir noktada değerlendirilmesinin bir bispipor olduğu düşünülmektedir. Bir spin-yukarı elektronu, bir spin-aşağı elektronu, bir spin-up pozitron ve bir spin-aşağı pozitron (daha fazla tartışma için aşağıya bakınız) bir süperpozisyon olarak yorumlanır.

4 × 4 matriks α_k ve β tüm Hermityalıdır ve karekodlara eşit kareler vardır:

$\alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}$

ve hepsi karşılıklı anticommute (eğer i ve j ayrıysa):

$\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0$

$\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0$

Tek sembolik denklem, böylece dalga fonksiyonunu oluşturan dört adet miktar için dört eşleşmiş lineer birinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemin içine çözülür. Bu matrisler ve dalga fonksiyonunun formu derin bir matematiksel öneme sahiptir. Gama matrisleri tarafından temsil edilen cebirsel yapı, yaklaşık 50 yıl önce İngiliz matematikçi W. K. Clifford tarafından yaratılmıştır. Buna karşılık, Clifford'un fikirleri, 1960'lı yılların ortalarında Alman matematikçi Hermann Grassmann'ın Lineale Ausdehnungslehre (Doğrusal Uzantılar Teorisi) çalışmasından ortaya çıkmıştır. İkincisi, çağdaşlarının çoğu tarafından anlaşılmaz olarak kabul edilmiştir. Böylesine soyut bir şekilde, böyle geç bir tarihte ve doğrudan fiziksel bir şekilde ortaya çıkan şey, fizik tarihindeki en dikkat çekici bölümlerden biridir.

Schrödinger denklemine rölativistik yapma

Dirac denklemi, büyük serbest parçacık için Schrödinger denklemine yüzeysel olarak benzer:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi .$

Sol taraf, momentum operatörünün karesini, göreceli olmayan kinetik enerjinin iki katı kütleye böler. Görelilik, mekânı ve zamanı bir bütün olarak ele aldığından, bu denklemin göreceli bir genellemesi, uzay ve zaman türevlerinin, ışığın davranışını yöneten Maxwell denklemlerinde olduğu gibi simetrik olarak girmesi gerektiğini gerektirir - denklemler, zaman ve uzaydaki aynı düzenden farklı olmalıdır. Görelilikte momentum ve enerjiler uzay-zaman vektörünün uzay ve zaman parçalarıdır, dört momentumdur ve bunlar göreceli olarak değişmez ilişki ile ilişkilidir.

$E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$

Bu dört-vektörün uzunluğunun durum kütlesi m ile orantılı olduğunu söyler. Schrödinger teorisinden enerji ve momentumun operatör eşdeğerini ikame ederek, göreceli olarak değişmeyen nesnelerden inşa edilen dalgaların yayılmasını açıklayan Klein-Gordon denklemini elde ederiz.

$\left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi$

dalga fonksiyonuyla ϕ göreli bir skaler olur: tüm referans çerçevelerinde aynı sayısal değere sahip olan karmaşık bir sayı. Uzay ve zaman türevleri her ikisi de ikinci sıraya girerler. Bu, denklemin yorumlanması için bir belirleyici sonuca sahiptir. Denklem, zaman türevinde ikinci mertebeden olduğundan, kesin problemleri çözmek için, dalga fonksiyonunun kendisinin ve ilk zaman-türevinin başlangıç değerlerini belirtmelidir. Her ikisi de daha fazla veya daha az rastlantısal olarak belirtilebildiğinden, dalga fonksiyonu, belirli bir hareket durumunda elektronu bulma olasılık yoğunluğunu belirleme rolünü devam ettiremez. Schrödinger teorisinde, olasılık yoğunluğu pozitif kesin ifade ile verilir.

$\rho =\phi ^{*}\phi \,$

ve bu yoğunluk olasılık akım vektörüne göre konvektiftir

$J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})$

süreklilik denkleminden izlenen olasılık akımının ve yoğunluğunun korunması ile:

$\nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

Yoğunluğun pozitif olduğu ve bu süreklilik denklemine göre konvolüyonlu olması, yoğunluğu belirli bir alan üzerine entegre edebileceğimizi ve toplamı 1'e ayarlayabileceğimizi ve bu durumun koruma kanunu ile korunacağını göstermektedir. Bir olasılık yoğunluk akımı olan düzgün bir göreceli teori de bu özelliği paylaşmalıdır. Şimdi, eğer konveksiyonlu bir yoğunluk kavramını korumak istiyorsak, o zaman yoğunluk ve akımın Schrödinger ifadesini genellemeliyiz, böylece uzay ve zaman türevleri tekrar skaler dalga fonksiyonu ile simetrik olarak girerler. Schrödinger ifadesini akım için tutmaya izin verir, ancak olasılık yoğunluğunu simetrik olarak oluşturulmuş ifadeyle değiştirmeliyiz.

$\rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*}).$

Şimdi bir uzay vektörünün 4. bileşeni olur ve tüm olasılık 4 akım yoğunluğu göreceli olarak değişmez ifadeye sahiptir.

$J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})$

Süreklilik denklemi daha önce olduğu gibidir. Artık her şey görelilikle uyumlu, fakat yoğunluğun ifadesinin artık pozitif olmadığını kesin olarak görüyoruz - hem ψ hem de ∂_tψ'nin başlangıç değerleri serbestçe seçilebilir ve bu nedenle yoğunluk negatif olabilir, meşru bir olasılık yoğunluğu için imkansız olan bir şeydir. Böylelikle, Schrödinger denkleminin dalga fonksiyonunun göreceli bir skalar ve tatmin ettiği denklemin zaman içinde ikinci mertebeden olduğu varsayımı altında basit bir genelleme elde edemeyiz.

Her ne kadar Schrödinger denkleminin göreceli olarak genelleşmesi olmasa da, bu denklem Klein-Gordon denklemi olarak bilinen kuantum alan teorisi bağlamında yeniden canlandırılır ve spinlenmemiş bir parçacık alanını (örneğin pi meson veya Higgs boson) açıklar. Tarihsel olarak, Schrödinger kendisi bu denklemi ismini taşıyan birinden önce bulduğu değerler cok yakındı . Kuantum alan teorisi bağlamında, belirsiz yoğunluğun, olasılık yoğunluğu değil, pozitif veya negatif olabilen şarj yoğunluğuna karşılık geldiği anlaşılmaktadır.