Klein-Gordon denklemi

Kuantum mekaniği
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle$ Schrödinger denklemi
Giriş Sözlük Tarihçe
Arka plân Klasik mekanik Eski kuantum teorisi Bra–ket notasyonu Hamiltoniyen Girişim
Temelleri Casimir etkisi Tutarlılık Ayrışma Tamamlayıcılık Enerji seviyesi Dolanılıklık Hamiltoniyen Belirsizlik ilkesi Temel durumu Girişim Ölçüm Yerbilinmezliği Gözlenebilen işleç Kuantum Kuantum dalgalanması Kuantum köpüğü Kuantum levitation Kuantum sayısı Kuantum gürültüsü Kuantum alemi Kuantum durumu Kuantum sistemi Kuantum ışınlanması Qubit Spin Süperpozisyon Simetri (Doğal) Simetri kırılması tünelleme Vakum durumu Dalga yayılımı Dalga fonksiyonu Dalga fonksiyonu çöküşü Dalga-parçacık ikiliği Madde dalgası
Deneyler Afshar Bell'in eşitsizliği Davisson–Germer Çift yarık Elitzur–Vaidman Franck–Hertz Leggett – Garg eşitsizliği Mach–Zehnder Popper Quantum eraser (delayed-choice) Schrödinger's cat Quantum suicide and immortality Stern–Gerlach Wheeler's delayed-choice
formülasyonlar Overview Heisenberg Interaction Matrix Phase-space Schrödinger Sum-over-histories (path integral)
Denklemler Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Yorumlama Overview Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Many-worlds Objective collapse Bayesian Quantum logic Relational Stochastic Scale relativity Transactional
Gelişmiş konular Quantum annealing Quantum chaos Quantum computing Density matrix Quantum field theory Fractional quantum mechanics Quantum gravity Quantum information science Quantum machine learning Perturbation theory (quantum mechanics) Relativistic quantum mechanics Scattering theory Spontaneous parametric down-conversion Quantum statistical mechanics
Bilim adamları Aharonov Bell Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger

Klein-Gordon denklemi (Klein – Fock – Gordon denklemi ya da bazen Klein-Gordon-Fock denklemi) Schrödinger denklemiyle ilgili göreceli bir dalga denklemidir. Uzayda ve zamanda ikinci sırada ve açıkça Lorentz kovaryantıdır. Göreli enerji-momentum ilişkisinin nicelleştirilmiş bir versiyonudur. Çözümleri bir kuantum skaler veya psödoskalar alanı, quanta'sı spinsiz parçacıklar olan bir alanı içerir. Teorik alaka düzeyi Dirac denklemine benzer. Skaler elektrodinamik konusunu oluşturan elektromanyetik etkileşimler dahil edilebilir, ancak pi mezonlar gibi yaygın spinsiz parçacıklar kararsızdır ve aynı zamanda güçlü etkileşimi tecrübe eder (Hamiltonian'da bilinmeyen etkileşim terimiyle), pratik fayda sınırlıdır.

Denklem Schrödinger denkleminin formuna konabilir. Bu formda, zaman içinde her bir birinci mertebeden iki eşleştirilmiş diferansiyel denklem olarak ifade edilir. Çözümlerin göreceli olarak serbest görelilik derecesini yansıtan iki bileşeni vardır. Korunan bir miktarı kabul eder, ancak bu kesin değildir. Dalga fonksiyonu bu nedenle bir olasılık genliği olarak yorumlanamaz. Korunan miktar bunun yerine elektrik yükü olarak yorumlanır ve dalga fonksiyonunun norm karesi bir yük yoğunluğu olarak yorumlanır. Denklem, tüm spinsiz parçacıkları pozitif, negatif ve sıfır yük ile açıklar.

Serbest Dirac denkleminin herhangi bir çözümü, bileşen olarak, serbest Klein-Gordon denkleminin bir çözümüdür.

Denklem tutarlı kuantum rölativistik tek parçacık teorisinin temelini oluşturmaz. Herhangi bir spin parçacığı için bilinen bir teori yoktur. Kuantum mekaniğinin özel görelilik ile tam bir uzlaşması için kuantum alan teorisine gereksinim vardır; burada Klein-Gordon denklemi, tüm serbest kuantum alanlarının bileşenleri tarafından uyulan denklem olarak yeniden canlandırılır. Kuantum alan teorisinde, orijinal denklemlerin serbest (etkileşmeyen) versiyonlarının çözümleri hala rol oynar. Hilbert uzayını (Fock uzayını) inşa etmek ve dalga fonksiyonlarının komple setlerini (Hilbert uzayının serileri) kullanarak kuantum alanını ifade etmek için gereklidirler.

Açıklama

Kütle parametresi $m$ ile ifade edilen Klein-Gordon denklemi

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.$

Denklemin çözümleri, zaman değişkeninin ($t$) ve uzay değişkenlerinin (x) karmaşık değerli fonksiyonlarını $\psi (t,\mathbf {x} )$ Laplacian $\nabla ^{2}$ sadece uzay değişkenlerine etki eder.

Denklem çoğu zaman kısaltılmıştır.

$(\Box +\mu ^{2})\psi =0,$

Burada μ = mc/ħ ve □, d'Alembert operatördür,

$\Box =-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.$

((−, +, +, +) Metrik imzasını kullanıyoruz.) Klein-Gordon denklemi genellikle doğal birimlerde yazılır:

$-\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi$

Klein-Gordon denkleminin formu, denklemin düzlemsel dalga çözümlerini gerektirerek türetilmiştir:

$\psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}$

Özel göreliliğin enerji momentum ilişkisine uyar:

$-p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}$

Schrödinger denkleminden farklı olarak Klein-Gordon denklemi, her kiçin bir pozitif ve bir negatif olmak üzere iki değeri ω ad kabul eder. Sadece pozitif ve negatif frekans bölümlerini ayırarak göreli bir dalga fonksiyonunu açıklayan bir denklem elde edilir. Zamandan bağımsız bir durum için Klein-Gordon denklemi olur.

$\left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0$

resmi olarak homojen elekli Poisson denklemi ile aynıdır.

Tarihçe

Denklem, 1926 yılında relativistik elektronları tanımladığını öne süren fizikçiler Oskar Klein ve Walter Gordon'dan ele alındı. Aynı yıl benzer iddialarda bulunan diğer yazarlar Vladimir Fock, Johann Kudar, Théophile de Donder ve Frans-H van den Dungen ve Louis de Broglie idi. Elektronun spinini modellemenin Dirac denklemini gerektirdiği ortaya çıkmasına rağmen, Klein-Gordon denklemi, pion gibi spinsiz relativisitik kompozit parçacıkları doğru bir şekilde tanımlar. 4 Temmuz 2012 tarihinde, Avrupa Nükleer Araştırma Örgütü CERN, Higgs bozonunun keşfini açıkladı. Higgs bozonu spin-sıfır parçacığı olduğu için, Klein-Gordon denklemi tarafından tarif edilen ilk gözle görülür temel parçacıktır. Gözlenen Higgs bozonunun Standart Model veya daha egzotik, muhtemelen kompozit bir form olup olmadığını anlamak için daha fazla deney ve analiz gereklidir.

Klein-Gordon denklemi ilk olarak Schrödinger tarafından de Broglie dalgalarını tanımlayan bir denklem arayışında kuantum dalga denklemi olarak düşünülmüştür. Denklem 1925'in sonlarında bulunur ve onu hidrojen atomuna uygulayan bir yazı hazırlamış gibi görünüyor. Bununla birlikte, elektronun spinini hesaba katmadığı için, denklem, hidrojen atomunun ince yapısını yanlış şekilde tahmin ederek, bölme paterninin genel büyüklüğünü n-th enerji seviyesi için 4n/2n − 1 faktörü ile aşırı tahmin etmektedir. Dirac denklemi relativistik spektrum, orbital momentum kuantum sayısı ℓ toplam açısal momentum kuantum sayısı j ile değiştirilirse kolayca geri kazanılır. 1926 yılının Ocak ayında, Schrödinger denklemi yayınlamak için başvurdu, Bohr'un hidrojen düzeylerini ince yapıya sahip olmadan tahmin eden relativist olmayan bir yaklaşımdı.

1926'da, Schrödinger denkleminin tanıtılmasından kısa bir süre sonra, Vladimir Fock, kuvvetlerin hıza bağlı olduğu ve bağımsız olarak bu denklemden türediği manyetik alanların durumu için genellemesi hakkında bir makale yazdı. Hem Klein hem de Fock, Kaluza ve Klein'in yöntemini kullandı. Fock ayrıca dalga denklemi için ölçü teorisini de belirledi. Serbest parçacık için Klein-Gordon denklemi basit bir düzlem dalga çözümüne sahiptir.