Nükleer yapı

Atom çekirdeğinin yapısını anlamak, nükleer fiziğin temel zorluklarından biridir.

Modeller

Sıvı damla modeli

Sıvı damla modeli, 1935'te Carl Friedrich von Weizsäcker tarafından önerilen ilk nükleer yapı modellerinden biridir. Çekirdeği, proton sayısıyla orantılı bir iç itici elektrostatik kuvvetle nötron ve protonlardan oluşan yarı klasik bir sıvı olarak tanımlar. Bu parçacıkların kuantum mekanik doğası, aynı türden iki nükleonun aynı durumda olamayacağını belirten Pauli dışlama ilkesi aracılığıyla ortaya çıkar. Böylece sıvı aslında Fermi sıvısı olarak bilinen şeydir. Bu modelde, Z protonlu ve N nötronlu bir çekirdeğin bağlanma enerjisi şekilde verilir:

$E_{B}=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}-a_{A}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}-\delta (A,Z)$

burada $A=Z+N$, toplam nükleon sayısıdır (Kütle Numarası). $A$ ve $A^{2/3}$ ile orantılı terimler sıvı damlasının hacmini ve yüzey enerjisini temsil eder, $Z^{2}$ ile orantılı terim elektrostatik enerjiyi temsil eder, $(N-Z)^{2}$ ile orantılı terim Pauli dışlama ilkesini ve sonuncu $\delta (A,Z)$ terimi, çift sayıda proton veya nötron için enerjiyi düşüren eşleştirme terimidir.$a_{V},a_{S},a_{C},a_{A}$ katsayıları ve eşleştirme teriminin gücü teorik olarak tahmin edilebilir veya verilere uygun olabilir. Bu basit model, çekirdeklerin bağlanma enerjisinin temel özelliklerini yeniden üretir.

Çekirdeğin bir damla Fermi sıvısı olarak varsayımı, bilinmeyen çekirdeklerin tahminleri için gerekli doğruluk ile tüm grafikte nükleer bağlanma enerjisinin olası iyi reprodüksiyonu nedeniyle, Sonlu Aralıklı Damlacık Modeli (FRDM) biçiminde hala yaygın olarak kullanılmaktadır.

Kabuk modeli

"Kabuk modeli" ifadesi, tekniğin bilinen durumunda iki farklı dönemi ifade ettiği için belirsizdir. Daha önce, şimdi ortalama alan teorisi olarak adlandırılan şeye daha yakın bir yaklaşıma göre çekirdekteki nükleon kabuklarının varlığını tanımlamak için kullanılıyordu. Günümüzde, kuantum kimyasında kullanılan konfigürasyon etkileşim formalizmine benzer bir formalizmi ifade etmektedir. İkincisini burada tanıtacağız.

Kabuk kavramına giriş

Atom çekirdeğinin bağlanma enerjisinin sistematik ölçümleri, sıvı damla modelinden tahmin edilenlere göre sistematik sapmalar gösterir. Özellikle, protonların veya nötronların sayısı için belirli değerlere sahip bazı çekirdekler, sıvı damla modeli tarafından tahmin edilenden daha sıkı bir şekilde birbirine bağlanır. Bu çekirdeklere tek/çift büyü denir. Bu gözlem, bilim adamlarının, atomların içindeki elektronlar gibi, çekirdek içindeki nükleonlardan (protonlar ve nötronlar) oluşan bir kabuk yapısının varlığını varsaymalarına yol açtı.

Gerçekte, nükleonlar kuantum nesnelerdir. Kesin konuşmak gerekirse, tek tek nükleonların enerjilerinden söz edilmemelidir, çünkü hepsi birbiriyle ilişkilidir. Bununla birlikte, bir yaklaşım olarak, içinde nükleonların ayrı ayrı yayıldığı ortalama bir çekirdek öngörülebilir. Kuantum karakterleri nedeniyle, yalnızca ayrık enerji seviyelerini işgal edebilirler. Bu seviyeler hiçbir şekilde tekdüze dağıtılmamıştır; bazı enerji aralıkları kalabalıktır ve bazıları boştur ve olası enerjilerde bir boşluk oluşturur. Bir kabuk, diğerlerinden geniş bir boşlukla ayrılmış böyle bir seviye kümesidir.

Enerji seviyeleri, diğer tüm nükleonların ürettiği ortalama potansiyelde hareket eden tek bir nükleon için Schrödinger denklemini çözerek bulunur. Her seviye bir nükleon tarafından işgal edilebilir veya boş olabilir. Bazı seviyeler aynı enerjiye sahip birkaç farklı kuantum halini barındırır; dejenere oldukları söyleniyor. Bu, özellikle ortalama çekirdek bir miktar simetriye sahipse meydana gelir.

Kabuk kavramı, kişinin neden bazı çekirdeklerin diğerlerinden daha sıkı bağlandığını anlamasını sağlar. Bunun nedeni, aynı türden iki nükleonun aynı durumda olamamasıdır (Pauli dışlama ilkesi). Yani çekirdeğin en düşük enerjili durumu, nükleonların aşağıdan bir seviyeye kadar tüm enerji seviyelerini doldurduğu durumdur. Dolu kabuklu bir çekirdek, açıklanacağı gibi son derece kararlıdır.

Elektron kabuğu modelindeki elektronlarda olduğu gibi, en dıştaki kabuktaki protonlar, o kabukta yalnızca birkaç proton varsa, çekirdeğin merkezinden en uzak oldukları için çekirdeğe nispeten gevşek bir şekilde bağlanırlar. Bu nedenle, tam bir dış proton kabuğuna sahip olan çekirdekler, benzer toplam proton sayısına sahip diğer çekirdeklerden daha sıkı bağlanacak ve daha yüksek bir bağlanma enerjisine sahip olacaktır. Bütün bunlar nötronlar için de geçerlidir.

Dahası, çekirdeği uyarmak için gereken enerji (yani bir nükleonu daha yüksek, daha önce boş bir seviyeye taşımak) bu tür çekirdeklerde son derece yüksektir. Ne zaman bu boş seviye, tam bir kabuktan sonraki sonraki seviyeyse, çekirdeği harekete geçirmenin tek yolu, boşluk boyunca bir nükleon yükseltmek ve böylece büyük miktarda enerji harcamaktır. Aksi takdirde, işgal edilen en yüksek enerji seviyesi kısmen dolu bir kabukta bulunuyorsa, bir nükleonu aynı kabukta daha yüksek bir duruma yükseltmek için çok daha az enerji gerekir.

Kararlı çekirdeklerde gözlemlenen kabuk yapısının bir miktar evrimi, kararlılık vadisinden uzakta beklenir. Örneğin, kararsız izotopların gözlemleri, kabuk yapısının oluştuğu tek parçacık seviyelerinin değiştiğini ve hatta yeniden sıralandığını göstermiştir. Bu bazen bir ters çevirme adasının yaratılması veya geleneksel sihirli sayıların üzerindeki uyarma enerjisi boşluklarının azalması olarak gözlemlenir.

Temel hipotezler

Kabuk modeline kesin bir kavramsal çerçeve vermek için bazı temel hipotezler yapılır:

• Atom çekirdeği, bir kuantum n-cisim sistemidir.
• Çekirdek içindeki nükleonların iç hareketi göreceli değildir ve davranışları Schrödinger denklemi tarafından yönetilir.
• Nükleonlar, herhangi bir iç yapı olmaksızın noktasal olarak kabul edilir.

Biçimciliğin kısa açıklaması

Kabuk modeli hesaplamalarında kullanılan genel süreç aşağıdaki gibidir. Önce çekirdek için bir Hamiltoniyen tanımlanır. Genellikle, hesaplama pratikliği için, bu tanımda yalnızca bir ve iki cisimli terimler dikkate alınır. Etkileşim etkili bir teoridir: deneysel verilerle uydurulması gereken serbest parametreleri içerir.

Bir sonraki adım, tek parçacık durumlarının bir temelini, yani tüm olası nükleon durumlarını açıklayan bir dizi dalga işlevini tanımlamayı içerir. Çoğu zaman, bu temel bir Hartree-Fock hesaplamasıyla elde edilir. Bu tek parçacık durumları setiyle, Slater determinantları oluşturulur, yani tek parçacık dalga fonksiyonlarının antisimetrik ürünleri olan Z proton değişkenleri veya N nötron değişkenleri için dalga fonksiyonları (antisimetrik, herhangi bir nükleon çifti için değişken değişimi altında, dalga işlevi yalnızca işareti değiştirir).

Prensipte, sonlu enerjide tek bir nükleon için mevcut olan kuantum durumlarının sayısı sonludur, örneğin n. Çekirdekteki nükleon sayısı, mevcut durum sayısından daha az olmalıdır, aksi takdirde çekirdek tüm nükleonlarını tutamaz. Bu nedenle, olası n arasından Z (veya N) durumlarını seçmenin birkaç yolu vardır. Kombinasyonel matematikte, n arasında Z nesnelerinin seçim sayısı binom katsayısı CZ
n'dir. N, Z'den (veya N) çok daha büyükse, bu kabaca n^Z gibi artar. Pratik olarak, bu sayı o kadar büyük olur ki, 8'den büyük A=N+Z için her hesaplama imkansızdır.

Bu zorluğun üstesinden gelmek için, olası tek parçacık durumlarının alanı, kimyaya benzetilerek çekirdek ve valansa bölünür (bakınız çekirdek elektron ve değerlik elektronu). Çekirdek, iyi bağlanmış en düşük enerjili haller oldukları ve durumlarını yeniden incelemeye gerek olmadığı anlamında, inaktif olduğu varsayılan bir tek parçacıklar kümesidir. Çekirdekte değil, tüm tek parçacık durumlarının alanı olan değer uzayındaki durumların aksine, Slater determinantlarında görünmezler, ancak muhtemelen (Z-) N-cisim dalga fonksiyonunun yapısının seçiminde dikkate alınmalıdır. Değerlik uzayındaki tüm olası Slater determinantları kümesi, ((Z-) N-cisim durumları için bir temel tanımlar.

Son adım, bu temelde Hamilton matrisini hesaplamak ve onu köşegenleştirmekten ibarettir. Çekirdeğin sabitlenmesi nedeniyle taban boyutunun küçültülmesine rağmen, köşegenleştirilecek matrisler kolayca 109 mertebesinde boyutlara ulaşır ve özel köşegenleştirme teknikleri gerektirir.

Kabuk modeli hesaplamaları genel olarak deneysel verilerle mükemmel bir uyum sağlar. Ancak güçlü bir şekilde iki ana faktöre bağlıdırlar:

• Tek parçacıklı alanı çekirdek ve değerlik olarak bölmenin yolu.
• Etkili nükleon-nükleon etkileşimi.

Ortalama alan teorileri

Bağımsız parçacık modeli (IPM)

Güçlü etkileşimlerin bir sonucu olan ve çekirdek içindeki nükleonları bağlayan nükleonlar arasındaki etkileşim, sonlu bir aralığa sahip olmanın kendine özgü davranışını sergiler: iki nükleon arasındaki mesafe çok büyüdüğünde kaybolur; orta aralıkta çekici ve çok küçük aralıkta itici. Bu son özellik, iki fermiyonun (nükleonlar fermiyonlardır) aynı kuantum durumunda olamayacağına göre Pauli dışlama ilkesiyle ilişkilidir. Bu, çekirdek içindeki bir nükleon için tahmin edilen çok büyük bir ortalama serbest yolla sonuçlanır.

Bağımsız Parçacık yaklaşımının ana fikri, bir nükleonun diğer nükleonlardan bağımsız olarak belirli bir potansiyel kuyunun (çekirdeğe bağlı kalmasını sağlayan) içinde hareket etmesidir. Bu, bir N-cismi problemini (etkileşimde olan N partikül) N tek cisim problemiyle değiştirmeye denk gelir. Sorunun bu temel basitleştirilmesi, ortalama alan teorilerinin temel taşıdır. Bunlar aynı zamanda, elektronların merkezi çekirdek ve elektron bulutunun kendisi nedeniyle ortalama bir alanda hareket ettiği atom fiziğinde de yaygın olarak kullanılmaktadır.

Bağımsız parçacık modeli ve ortalama alan teorileri (birkaç varyantın olduğunu göreceğiz), etkin bir etkileşimden veya etkili bir potansiyelden başlayarak çekirdeğin özelliklerini açıklamada büyük başarıya sahiptir, bu nedenle atom çekirdeği teorisinin temel bir parçasıdır. Yeterince modüler olduklarına da dikkat edilmelidir, çünkü modeli nükleer eşleşme veya nükleonun kolektif hareketleri gibi dönme veya titreşim gibi etkileri tanıtmak ve biçimciliğe karşılık gelen enerji terimlerini ekleyerek genişletmek oldukça kolaydır. Bu, birçok temsilde ortalama alanın, kolektif uyarımlar ve nükleon transferi gibi özellikleri yeniden üreten korelasyonları tanıtan daha eksiksiz bir açıklama için yalnızca bir başlangıç noktası olduğu anlamına gelir.

Nükleer potansiyel ve etkili etkileşim

Ortalama alan teorilerinde karşılaşılan pratik zorlukların büyük bir kısmı, ortalama alanın kendisinin potansiyelinin tanımı (veya hesaplanması). İki yaklaşım arasında kabaca ayrım yapılabilir:

• Fenomenolojik yaklaşım, nükleer potansiyelin uygun bir matematiksel fonksiyonla parametreleştirilmesidir. Tarihsel olarak bu prosedür, potansiyel olarak (deforme olmuş) harmonik osilatör potansiyeli kullanan Sven Gösta Nilsson tarafından en büyük başarı ile uygulandı. En son parametrelendirmeler, örneğin saçılma deneylerini daha doğru bir şekilde açıklayan daha gerçekçi işlevlere dayanmaktadır. Özellikle Woods-Sakson potansiyeli olarak bilinen formdan bahsedilebilir.
• Kendi kendine tutarlı veya Hartree-Fock yaklaşımı, matematiksel olarak nükleer potansiyeli etkili bir nükleon-nükleon etkileşiminden çıkarmayı amaçlamaktadır. Bu teknik, Schrödinger denkleminin, bir ansatz dalga fonksiyonundan başlayarak ve onu değişken olarak iyileştirerek yinelemeli bir şekilde çözümlenmesini ifade eder, çünkü potansiyel orada belirlenecek dalga fonksiyonlarına bağlıdır. İkincisi, Slater belirleyicileri olarak yazılır.

Hartree-Fock yaklaşımları durumunda, sorun nükleer potansiyeli en iyi tanımlayan matematiksel işlevi bulmak değil, nükleon-nükleon etkileşimini en iyi tanımlayanı bulmaktır. Aslında, etkileşimin bilindiği atom fiziğinin aksine (Coulomb etkileşimi), çekirdek içindeki nükleon-nükleon etkileşimi analitik olarak bilinmemektedir.

Bu gerçeğin iki ana nedeni var. Birincisi, güçlü etkileşim esas olarak nükleonları oluşturan kuarklar arasında hareket eder. Boşluktaki nükleon-nükleon etkileşimi, kuark-kuark etkileşiminin yalnızca bir sonucudur. İkincisi, yüksek enerjilerde Standart Model çerçevesinde iyi anlaşılırken, renk sınırlaması ve asimptotik serbestlik nedeniyle düşük enerjilerde çok daha karmaşıktır. Dolayısıyla, kuark-kuark etkileşiminden nükleon-nükleon etkileşimini çıkarmaya izin veren temel bir teori henüz yoktur. Dahası, bu problem çözülmüş olsa bile, ideal (ve kavramsal olarak daha basit) vakumda etkileşen iki nükleonun durumu ile nükleer maddede etkileşime giren bu nükleonlar arasında büyük bir fark kalacaktır. Daha ileri gitmek için, etkili etkileşim kavramını icat etmek gerekiyordu. İkincisi, temelde deneysel verilerle uyumlu olacak şekilde ayarlanmış birkaç keyfi parametresi olan matematiksel bir fonksiyondur.

Tony Skyrme tarafından tanıtıldığı gibi, çoğu modern etkileşim sıfır menzilli olduğundan, yalnızca iki nükleon temas halinde olduğunda hareket ederler.

Hartree – Fock tipinin kendi kendine tutarlı yaklaşımları

N-cisim probleminin Hartree–Fock yaklaşımında, başlangıç noktası, n kinetik enerji terimi ve potansiyel terimi içeren bir Hamiltoniyendir. Daha önce belirtildiği gibi, ortalama alan teorisi hipotezlerinden biri, sadece iki cisim etkileşiminin hesaba katılması gerektiğidir. Hamiltoniyen'in potansiyel terimi, n fermiyon kümesindeki tüm olası iki cisim etkileşimlerini temsil eder. Bu ilk hipotezdir.

İkinci adım, sistemin dalga fonksiyonunun tek parçacıklı spin orbitallerinin bir Slater determinantı olarak yazılabileceğini varsaymaktan ibarettir. Bu ifade, bağımsız parçacık modelinin matematiksel çevirisidir. Bu ikinci hipotezdir.

Şimdi bu Slater determinantının bileşenlerini, yani nükleonların bireysel dalga fonksiyonlarını belirlemek için kaldı. Bu amaçla, toplam dalga fonksiyonunun (Slater determinantı) enerji minimum olacak şekilde olduğu varsayılır. Bu üçüncü hipotezdir.

Teknik olarak, bu (bilinen) iki cisimli Hamiltoniyenin (bilinmeyen) Slater determinantı üzerindeki ortalama değerini hesaplamak ve matematiksel varyasyonunun yok olduğunu empoze etmek anlamına gelir. Bu, bilinmeyenlerin bireysel dalga fonksiyonları olduğu bir dizi denkleme yol açar: Hartree-Fock denklemleri. Bu denklemleri çözmek, nükleonların dalga fonksiyonlarını ve bireysel enerji seviyelerini ve dolayısıyla çekirdeğin toplam enerjisini ve dalga fonksiyonunu verir.

Hartree – Fock yönteminin bu kısa açıklaması, neden aynı zamanda varyasyonel yaklaşım olarak da adlandırıldığını açıklamaktadır. Hesaplamanın başlangıcında, toplam enerji "bireysel dalga fonksiyonlarının bir fonksiyonudur" (sözde fonksiyonel) ve daha sonra bu dalga fonksiyonlarının seçimini optimize etmek için her şey yapılır, böylece fonksiyonel minimumdur mutlak ve sadece yerel değil. Daha kesin olmak gerekirse, enerjinin, tek tek kare dalga fonksiyonlarının toplamı olarak tanımlanan yoğunluğun bir fonksiyonu olduğu belirtilmelidir. Hartree-Fock yöntemi, atom fiziği ve yoğun madde fiziğinde de Yoğunluk Fonksiyonel Teorisi, DFT olarak kullanılmaktadır.

Hartree-Fock denklemlerini çözme süreci ancak yinelemeli olabilir, çünkü bunlar aslında potansiyelin yoğunluğa, yani tam olarak belirlenecek dalga fonksiyonlarına bağlı olduğu bir Schrödinger denklemidir. Pratik olarak, algoritma, büyük ölçüde makul bir dizi bireysel dalga fonksiyonuyla (genel olarak, bir harmonik osilatörün özfonksiyonları) başlatılır. Bunlar yoğunluğu ve buradan Hartree - Fock potansiyelini hesaplamaya izin verir. Bu yapıldığında, Schrödinger denklemi yeniden çözülür ve bu böyle devam eder. Ardışık iki yineleme için dalga fonksiyonları veya enerji seviyeleri arasındaki fark sabit bir değerden düşük olduğunda hesaplama durur - yakınsamaya ulaşılır. Daha sonra ortalama alan potansiyeli tamamen belirlenir ve Hartree-Fock denklemleri standart Schrödinger denklemleri haline gelir. Karşılık gelen Hamiltoniyen daha sonra Hartree-Fock Hamiltoniyen olarak adlandırılır.